Dimension (Mathematik)


Die Dimension ist ein Konzept in der Mathematik, das im Wesentlichen die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung in einem bestimmten Raum bezeichnet.

Der Begriff der Dimension tritt in einer Vielzahl von Zusammenhängen auf. Kein einzelnes mathematisches Konzept vermag es, die Dimension für alle Situationen zufriedenstellend zu definieren, darum existieren für verschiedene Räume auch unterschiedliche Dimensionsbegriffe.

Am bekanntesten ist die Dimension eines Vektorraums, auch Hamel-Dimension genannt. Sie ist gleich der Mächtigkeit einer Basis des Vektorraums. Folgende Aussagen sind hierzu äquivalent:

Beispielsweise besitzt der geometrisch anschauliche euklidische 3-Raum die Dimension 3 (Länge, Breite, Höhe). Die euklidische Ebene hat die Dimension 2, die Zahlengerade die Dimension 1, der Punkt die Dimension 0. Allgemein hat der Vektorraum die Dimension .

Die Dimension von hängt im Wesentlichen davon ab, ob man einen Vektorraum über dem Körper oder betrachtet, das bedeutet

Vektorräumen, die kein endliches Erzeugendensystem besitzen, kann man ebenfalls die Mächtigkeit eines minimalen Erzeugendensystems als Dimension zuordnen; es handelt sich dabei dann um eine unendliche Kardinalzahl. Ein Vektorraum mit endlicher Dimension heißt endlichdimensional, ansonsten unendlichdimensional.


Beweis, dass jede Basis eines Vektorraums dieselbe Länge hat