Gitter (Mathematik)

Ein Gitter (engl. lattice) in der Mathematik ist eine diskrete Untergruppe des euklidischen Raums. Gitter finden innermathematisch Verwendung u. a. in der Gruppentheorie, der Zahlentheorie^[1], der Geometrie und bei Approximationsfragestellungen. Außermathematisch werden Gitter in der Chemie und Physik z. B. in der Kristallographie oder im Zusammenhang mit Ionengittern studiert.

Es seien ${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m}}$ linear unabhängige Vektoren des euklidischen Vektorraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Dann nennt man

ein Gitter mit Basis ${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m}\}}$ vom Rang ${\displaystyle m}$. Die aus den Vektoren ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{m}}$ gebildete Matrix ${\displaystyle B:=(b_{1},\dots ,b_{m})\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$ heißt Basismatrix von ${\displaystyle \Gamma }$. Die Basis ist durch das Gitter nicht festgelegt. Jede Basis von ${\displaystyle \Gamma }$ hat jedoch denselben Rang ${\displaystyle m}$. Als Untergruppe der additiven Gruppe von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist ${\displaystyle \Gamma }$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${\displaystyle m}$.

Ausschnitt eines Gitters. Die blauen Punkte gehören zum Gitter.