Kreis

Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Er wird definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die den gleichen Abstand zu einem bestimmten Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius oder Halbmesser des Kreises, er ist eine positive reelle Zahl. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie.

Umgangssprachlich wird mit dem Begriff Kreis häufig auch eine Kreisfläche oder eine runde Scheibe bezeichnet.

Bereits die alten Ägypter und Babylonier versuchten, den Flächeninhalt des Kreises näherungsweise zu bestimmen. In der griechischen Antike stieß der Kreis wegen seiner Vollkommenheit auf Interesse. Archimedes versuchte erfolglos, den Kreis mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können (siehe Quadratur des Kreises). Erst 1882 konnte Ferdinand von Lindemann durch den Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl, nämlich der Transzendenz, zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.

Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine Kurve, also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe Kreislinie, Kreisrand oder Kreisperipherie^[1] anstatt Kreis – im Gegensatz zur Kreisfläche oder Kreisscheibe. Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der abgeschlossenen Kreisfläche oder -scheibe und der offenen (oder dem Kreisinneren), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.

Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein Kreisbogen. Eine Verbindungsstrecke von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als Kreissehne. Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die Durchmesser. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang.

Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet.

Kreis mit dem Mittelpunkt M und Radius r

Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment

Kreisring

Beziehung von Kreis zu Tangente, Passante und Sekante

Ein Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle M}$, Radius ${\displaystyle r}$ und Durchmesser ${\displaystyle d}$.

In der Technik ermöglicht die kreisrunde Form des Rades die rollende Fortbewegung.

Fragment des Papyrus Rhind

Annäherung der Kreisfläche im Papyrus Rhind, die Figur oben wird als unregelmäßiges Achteck gedeutet, darunter die Rechenschritte am Beispiel d=9 (Chet).

Titelblatt von Henry Billingsleys englischer Übersetzung der Elemente (1570)

Ferdinand von Lindemann

Ein Vergleich des Flächeninhalts ${\displaystyle A}$ einer Kreisscheibe mit einem Quadrat über seinem Radius verdeutlicht, dass ${\displaystyle A}$ größer als ${\displaystyle 2r^{2}}$ und kleiner als ${\displaystyle 4r^{2}}$ ist.

Näherung der Kreisfläche durch ein Rechteck

Kreisflächen-Integration

Annäherung an den Umkreis über ein Sechseck und ein Zwölfeck

Kreiswinkel: Der Umfangswinkel ${\displaystyle \gamma }$ hängt nicht von der Lage des Punktes C auf dem Kreisbogen ab. Er ist halb so groß wie der Zentriwinkel ${\displaystyle \varphi }$ und genauso groß wie der Sehnentangentenwinkel ${\displaystyle \delta }$.

Halbkreis mit rechtwinkligen Dreiecken

Satz von Ceva für Kreise

In der Geometrie schlägt man Kreise mittels eines Zirkels.

Der Kreis als Kegelschnitt