Oval (Projektive Geometrie)


Ein Oval ist in der projektiven Geometrie eine kreisähnliche Kurve in einer projektiven Ebene. Die Standardbeispiele sind die nichtausgearteten Kegelschnitte. Während ein Kegelschnitt nur in einer pappusschen Ebene definiert ist, kann es Ovale in beliebigen projektiven Ebenen geben. In der Literatur findet man viele Kriterien dafür, wann ein Oval ein Kegelschnitt (in einer pappusschen Ebene) ist. Ein bemerkenswertes Resultat ist der Satz von Buekenhout: Falls ein Oval die Pascal-Eigenschaft (vergleichbar mit dem Satz von Pappus) besitzt, ist die projektive Ebene pappussch und das Oval ein Kegelschnitt.

Ein Oval wird in der projektiven Geometrie mit Hilfe von Inzidenzeigenschaften definiert (s. u.). Im Gegensatz zu einem Oval in der Differenzialgeometrie, wo man zur Definition Differenzierbarkeit verwendet.

Der Beweis dieser Charakterisierung im endlichen Fall folgt aus der Eigenschaft einer projektiven Ebene der Ordnung , dass jede Gerade Punkte enthält und durch jeden Punkt Geraden gehen. Die Gesamtzahl der Punkte ist . Ist die Ebene eine pappussche Ebene über einem Körper , so gilt .

Ist eine Punktmenge einer affinen Ebene mit den definierenden Eigenschaften (1),(2) eines Ovals (jetzt mit affinen Geraden), so nennt man ein affines Oval.

Ein affines Oval ist im projektiven Abschluss (Zufügung einer Ferngerade) auch immer ein projektives Oval.

In jeder pappusschen Ebene gibt es nicht ausgeartete Kegelschnitte und jeder nicht ausgearteter Kegelschnitt ist ein Oval. Am einfachsten rechnet man dies an einem der beiden inhomogenen Darstellungen eines projektiven Kegelschnitts (s. Bilder) nach.


Zur Definition eines Ovals:
p: Passante,
t: Tangente,
s: Sekante
Projektiver Kegelschnitt in inhomogenen Koordinaten: Parabel und Fernpunkt der Achse
Projektiver Kegelschnitt in inhomogenen Koordinaten: Hyperbel und Fernpunkte der Asymptoten