Als Papstprimat (der oder das; lat. prīmatus: Vorrang, Vorzug), Primat des Papstes oder Petrusprimat bezeichnet man den von der römisch-katholischen Kirche beanspruchten Vorrang des Papstes als Führer der gesamten Christenheit. Dieser Anspruch wurde seit dem 3. Jahrhundert auf die Überlieferung der römischen Gemeinde zurückgeführt, der Apostel Simon Petrus sei der erste Bischof von Rom gewesen und habe dort das Martyrium erlitten. Daraus wurde über eine ununterbrochene apostolische Sukzession die Autorität der römischen Kathedra abgeleitet. Die theoretische und praktische Ausformung des Primats geschah in einer jahrhundertelangen Entwicklung, die unter anderem Gegenstand der Kirchenspaltungen des Morgenländischen Schismas und der Reformation war. Katholischerseits kam diese Entwicklung mit dem Ersten Vatikanischen Konzil 1870 zum Abschluss, bei dem der Papstprimat als höchste Rechtsgewalt (Jurisdiktionsprimat) und höchste Lehrvollmacht (suprema quoque magisterii potestas; Unfehlbarkeit in Lehrentscheidungen ex cathedra) in der Kirche dogmatisch definiert wurde.
„Wer also sagt, der römische Bischof habe nur das Amt einer Aufsicht oder Leitung und nicht die volle und oberste Gewalt der Rechtsbefugnis über die ganze Kirche – und zwar nicht nur in Sachen des Glaubens und der Sitten, sondern auch in dem, was zur Ordnung und Regierung der über den ganzen Erdkreis verbreiteten Kirche gehört –; oder wer sagt, er habe nur einen größeren Anteil, nicht aber die ganze Fülle dieser höchsten Gewalt, oder diese seine Gewalt sei nicht ordentlich und unmittelbar, ebenso über die gesamten und die einzelnen Kirchen wie über die gesamten und einzelnen Hirten und Gläubigen, der sei ausgeschlossen.“
„Der Bischof der Kirche von Rom, in dem das vom Herrn einzig dem Petrus, dem Ersten der Apostel, übertragene und seinen Nachfolgern zu vermittelnde Amt fortdauert, ist Haupt des Bischofskollegiums, Stellvertreter Christi und Hirte der Gesamtkirche hier auf Erden, deshalb verfügt er kraft seines Amtes in der Kirche über höchste, volle, unmittelbare und universale ordentliche Gewalt, die er immer frei ausüben kann.“
Als erster Papst begründete Stephan I. Mitte des 3. Jahrhunderts den Führungsanspruch des Bischofs von Rom mit dem so genannten „Felsenwort“ Mt 16,18f EU:
„Du bist Petrus, und auf diesen Felsen werde ich meine Kirche bauen, und die Mächte der Unterwelt werden sie nicht überwältigen. Ich werde dir die Schlüssel des Himmelreichs geben; was du auf Erden binden wirst, das wird auch im Himmel gebunden sein, und was du auf Erden lösen wirst, das wird auch im Himmel gelöst sein.“