Periodische Funktion

In der Mathematik sind periodische Funktionen eine besondere Klasse von Funktionen. Sie haben die Eigenschaft, dass sich ihre Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Abstände zwischen dem Auftreten der gleichen Funktionswerte werden Periode genannt. Einfache Beispiele sind Sinus- und Kosinus-Funktionen. Damit auch Funktionen mit Lücken im Definitionsbereich, wie z. B. die Tangens-Funktion, zu den periodischen Funktionen gerechnet werden können, erlaubt man Definitionsbereiche mit periodischen Lücken. Eine periodische Funktion besitzt allerdings nicht nur eine Periode, denn jedes Vielfache einer Periode ist auch wieder eine Periode. Beispiel: Die Sinus-Funktion ist nicht nur ${\displaystyle 2\pi }$-periodisch, sondern auch ${\displaystyle 4\pi }$-periodisch, … Wenn man von Periode spricht, meint man in der Regel die kleinstmögliche positive Periode. Es gibt allerdings periodische Funktionen, die keine kleinste Periode besitzen. Beispiel: Jede auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definierte konstante Funktion hat jede beliebige Zahl als Periode.

Periodische Funktionen treten natürlicherweise in der Physik zur Beschreibung von mechanischen, elektrischen oder akustischen Schwingungsvorgängen auf. Deshalb bezeichnet man eine Periode oft mit ${\displaystyle T}$ (engl.: Time).

Da eine periodische Funktion bekannt ist, wenn man ihren Verlauf innerhalb einer Periode kennt, werden nicht-trigonometrische periodische Funktion in der Regel in einem Grundintervall definiert und dann periodisch fortgesetzt.

So wie viele reelle Funktionen in Potenzreihen entwickelt werden können, kann man, unter gewissen Voraussetzungen, eine periodische Funktion als Reihe von Sinus- und Kosinus-Funktionen entwickeln: siehe Fourier-Reihe.

Funktionen, die nicht periodisch sind, werden manchmal – um dies extra zu betonen – als aperiodisch bezeichnet.

Eine reelle Zahl ${\displaystyle T}$ ist eine Periode einer in ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}\subseteq \mathbb {R} }$ definierten Funktion, wenn für jedes ${\displaystyle x}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}}$ gilt:

Illustration einer periodischen Funktion mit der Periode ${\displaystyle P}$

Funktionsgraph der Sinusfunktion

Funktionsgraph der Tangensfunktion

Periodische Funktion
oben: ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}=\mathbb {R} }$. (blau),
unten: ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}}$ Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (blau),
lila: Periode

Summe von cos- und sin-Funktionen

Periodische Fortsetzung eines Parabelbogens

Periodische Fortsetzung der Funktion im rosa Bereich:
oben: ungerade, unten: gerade

Fourierreihe: versch. Teilsummen (blau)