Projektive Geometrie

Die projektive Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Sie beruht auf der Projektion von Punkten, Geraden, Ebenen etc. Hervor ging die projektive Geometrie in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts aus der perspektivischen Darstellung dreidimensionaler Gegenstände in der zweidimensionalen Ebene. Im Gegensatz zur „gewöhnlichen“ euklidischen Geometrie gibt es in der projektiven Geometrie keine Parallelen. Wesentliche Beiträge leisteten Jean Victor Poncelet 1822 und Karl Georg Christian von Staudt 1847.^[1]

Die projektive Geometrie befasst sich, wie die affine Geometrie, mit Punkten, Geraden, Ebenen, Kurven und Flächen; allerdings ohne die Parallelität von Geraden. Es gibt also keine Parallelprojektionen, sondern nur Zentralprojektionen. Die zu untersuchenden Objekte liegen jetzt in einer projektiven Ebene oder einem projektiven Raum. Meistens befasst man sich mit Objekten in einem projektiven Raum über den reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder den komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$, das heißt, die Koordinaten der Punkte sind reelle bzw. komplexe Zahlen. Nur in der axiomatischen projektiven Geometrie (s. u.) treten Koordinaten aus allgemeineren Strukturen (Körper, Schiefkörper, Ternärkörper, …) auf. Projektive Ebenen/Räume, in denen der Satz von Desargues gilt, lassen sich mit Hilfe von Vektorräumen über Schiefkörper noch gut beschreiben. Dies zeigt die große Bedeutung des Satzes von Desargues. Allerdings gilt er in mindestens 3-dimensionalen projektiven Räumen immer.

Die Bedeutung der projektiven Geometrie liegt auch darin, dass sich die Maßgeometrien, insbesondere die euklidische Geometrie und die nichteuklidischen Geometrien durch Spezialisierung aus ihr heraus entwickeln lassen.^[2] Sie kann daher als eine Art Urgeometrie angesehen werden.

Der Einfachheit halber werden hier bis zum Abschnitt über axiomatische projektive Geometrie immer reelle Koordinaten vorausgesetzt.

Projektiver Satz von Desargues

Zentralprojektion paralleler Geraden

Inhomogene Koordinaten einer reellen projektiven Ebene

Beziehung zwischen inhomogenen und homogenen Koordinaten

Zentralkollineation: Für jeden Punkt ${\displaystyle P}$ sind ${\displaystyle Z,P,\pi (P)}$ kollinear

Doppelverhältnis: Definition

Invarianz des Doppelverhältnisses bei Zentralprojektion

Projektiver Kegelschnitt in homogenen Koordinaten

Projektiver Kegelschnitt in inhomogenen Koordinaten

Rationale Bezierkurve (rot) als Projektion einer gewöhnlichen räumlichen Bezierkurve (blau)

Veblen-Young-Axiom

affine Versionen des Satzes von Desargues

Desaguessche Ebene: Einführung von Koordinaten

Satz von Pappos: projektive Form

Satz von Pappos: affine Form

perspektive Punktreihe

perspektive Geradenbüschel

Die kleinste projektive Ebene besteht aus 7 Punkten. Sie lässt sich über dem kleinsten Körper (mit zwei Elementen) darstellen.

Zur Definition eines Ovals

Zur Definition eines Ovoids