Projektiver Kegelschnitt

Ein nicht ausgearteter (n.a.) projektiver Kegelschnitt ist eine Kurve in einer pappusschen projektiven Ebene, die bei geeigneter Wahl einer Ferngerade ${\displaystyle g_{\infty }}$ affin als Hyperbel ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$ (s. Bild: c2) oder Parabel ${\displaystyle y=x^{2}}$ (Bild: c1) beschrieben werden kann. Die Gleichung ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ beschreibt nicht immer einen n.a. Kegelschnitt.

Geometrisch kann man sich einen n.a. projektiven Kegelschnitt ${\displaystyle k}$ kreisähnlich vorstellen mit den wesentlichen Eigenschaften: 1) eine Gerade trifft ${\displaystyle k}$ in 0, 1 oder 2 Punkten, 2) in jedem Punkt ${\displaystyle P}$ von ${\displaystyle k}$ gibt es genau eine Tangente ${\displaystyle t_{P}}$, d. h. ${\displaystyle |t_{P}\cap k|=1}$. Diese beiden Eigenschaften bestimmen allerdings noch nicht einen n.a. Kegelschnitt. Zusätzlich zu den geometrischen Eigenschaften 1), 2) besitzt ein n.a. Kegelschnitt viele Symmetrien (s. u.).

Der Vorteil eines projektiven n.a. Kegelschnitts ist die Tatsache, dass alle n.a. projektiven Kegelschnitte zur Kurve mit der Gleichung ${\displaystyle x_{1}x_{2}=x_{3}^{2}}$ projektiv äquivalent sind. Affin sind die affinen Kegelschnitte Ellipse, Parabel und Hyperbel nicht äquivalent: Eine Parabel lässt sich mit einer affinen Abbildung nicht in eine Ellipse oder Hyperbel überführen.

Projektive Ebene mit Kegelschnitten und Ferngerade

Projektive Ebene: inhomogenes Modell

Projektiver Kegelschnitt ${\displaystyle k_{1}}$ in homogenen Koordinaten incl. inhomogenen Bezeichnungen

Projektiver Kegelschnitt ${\displaystyle k_{1}}$ in inhomogenen Koordinaten: Hyperbel und Fernpunkte

Projektiver Kegelschnitt ${\displaystyle k_{2}}$ in homogenen Koordinaten incl. inhomogenen Bezeichnungen

Projektiver Kegelschnitt ${\displaystyle k_{2}}$ in inhomogenen Koordinaten: Parabel und Fernpunkt

Steiner-Erzeugung des Kegelschnitts${\displaystyle k_{2}}$: Vorgaben

Steiner-Erzeugung des Kegelschnitts${\displaystyle k_{2}}$

Steiner-Erzeugung des Kegelschnitts${\displaystyle k_{1}}$

n.a. Kegelschnitt: Polarität

Projektiver Kegelschnitt: Symmetrie${\displaystyle \sigma _{P}}$