Satz von Pascal
Der Satz von Pascal (nach Blaise Pascal) ist eine Aussage über ein 6-Eck auf einem nicht ausgearteten Kegelschnitt in einer projektiven Ebene.
Betrachtet man diesen Satz in dem projektiven Abschluss einer affinen Ebene (man nimmt die „Ferngerade“, auf der sich parallele Geraden schneiden, hinzu), so gilt:
Für beliebige 6 Punkte eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer projektiven Ebene liegen die Punkte
Die Nummerierung gibt an, welche 6 der 15 Verbindungsgeraden der 6 Punkte benutzt werden und welche Kanten benachbart sind. Die Nummerierung ist so gewählt, dass der Kantengraph durch ein reguläres 6-Eck dargestellt werden kann. Geraden zu gegenüberliegenden Kanten des Kantengraphs werden also geschnitten. Sollen andere Kanten in die Pascalfigur eingehen, muss man die Indizes entsprechend permutieren. Für die 2. Pascal-Konfiguration wurden die Indizes 2 und 5 vertauscht (s. Bild, unten).
Nichtausgeartet heißt hier: Keine 3 Punkte liegen auf einer Gerade. Den Kegelschnitt kann man sich also als Ellipse vorstellen. (Ein sich schneidendes Geradenpaar ist ein ausgearteter Kegelschnitt.)
Kegelschnitte sind nur in solchen projektiven Ebenen definiert, die sich über (kommutativen) Körpern koordinatisieren lassen. Beispiele von Körpern sind: die reellen Zahlen , die rationalen Zahlen , die komplexen Zahlen , endliche Körper. Jeder nicht ausgeartete Kegelschnitt einer projektiven Ebene lässt sich in geeigneten homogenen Koordinaten durch die Gleichung beschreiben (s. projektiver Kegelschnitt).
