Stabilitätstheorie


Die mathematische Stabilitätstheorie beschäftigt sich mit der Entwicklung von Störungen, die als Abweichung von bestimmten Zuständen dynamischer Systeme auftreten. Ein solcher Zustand kann etwa eine Ruhelage oder ein bestimmter Orbit sein, z. B. ein periodischer Orbit. Ein System ist instabil, wenn eine kleine Störung zu großen und aufklingenden Abweichungen führt.

Neben ihrer theoretischen Bedeutung wird die Stabilitätstheorie in der Physik und in der Theoretischen Biologie angewendet sowie in technischen Gebieten, z. B. in der Technischen Mechanik oder der Regelungstechnik.

Die Lösungsansätze für die Probleme der Stabilitätstheorie sind gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.

Für die Charakterisierung der Stabilität der Ruhelage eines dynamischen Systems existieren mehrere Stabilitätsbegriffe mit jeweils etwas unterschiedlicher Aussage:

Für den Fall diskreter Systeme, die durch Differenzengleichungen beschrieben werden, ist die Ruhelage gleichzeitig Fixpunkt der Rekursionsgleichung und es sind ähnliche Stabilitätsdefinitionen üblich.

Bei zeitkontinuierlichen linearen zeitinvarianten Systemen kann die Stabilität an der Übertragungsfunktion durch die Lage der Pole in der s-Ebene (Nennerpolynom der Laplace Übertragungsfunktion) abgelesen werden:


Bedeutung der Pole und der konjugiert komplexen Polpaare in der linken und rechten s-Halbebene