Symmetrie (Geometrie)

Mit dem geometrischen Begriff Symmetrie (altgriechisch συμμετρία symmetria Ebenmaß, Gleichmaß, aus σύν syn „zusammen“ und μέτρον metron, Maß) bezeichnet man die Eigenschaft, dass ein geometrisches Objekt durch Bewegungen auf sich selbst abgebildet werden kann, also unverändert erscheint. Eine Umwandlung, die ein Objekt auf sich selbst abbildet, heißt Symmetrieabbildung oder Symmetrieoperation.

Manchmal werden auch zwei (oder mehr) verschiedene geometrische Objekte als zueinander symmetrisch bezeichnet, wenn sie, zusammen betrachtet, eine symmetrische Figur bilden.

Im Eindimensionalen, also auf einer Geraden, gibt es die Symmetrie zu einem einzelnen Punkt sowie die Symmetrie der Translation (Verschiebung).

Im Zweidimensionalen muss zwischen Punkt- und Achsensymmetrie unterschieden werden. Daneben treten auch hier Translationssymmetrien auf, aber auch andere Symmetrieformen, die es im Eindimensionalen nicht geben kann.

Eine zweidimensionale geometrische Figur besitzt dann die Eigenschaft, rotationssymmetrisch zu sein, wenn die Figur einen zentralen Punkt besitzt, und die Figur auf sich selbst abgebildet wird, wenn man sie um diesen Punkt dreht. Ein Kreis oder ein Kreisring sind rotationssymmetrisch im engeren Sinne. Eine Drehung um jeden beliebigen Winkel bildet sie auf sich selbst ab.

Symmetrie und Asymmetrie

Symmetrie

in der Architektur

in der Biologie

Leonardo da Vincis „vitruvianischer Mensch“

Vier reguläre Polygone und zwei weitere geometrische Figuren mit den Kennzahlen ihrer Rotationssymmetrie, auch Drehsymmetrie genannt (n=1 bedeutet: ohne Drehsymmetrie)

Spiegelsymmetrische Objekte in der Ebene

Alle Symmetrieelemente der obigen Polygone, einschließlich ihrer Spiegelsymmetriegeraden

Achsensymmetrischer Funktionsgraph

Symmetrien lateinischer Großbuchstaben

Punktsymmetrische Objekte in der Ebene

Punktsymmetrischer Funktionsgraph

Translationssymmetrisches Gitter

Beispiele farbtauschsymmetrischer Paare

Beispiele klassisch-symmetrischer und autofarbtauschsymmetrischer Figuren

Nur die mediane Sagittalebene (Medianebene) des Körpers der Bilateria ist eine Spiegelebene

Symmetrie der Stachelhäuter (Pentamerie) am Beispiel des Seesterns: fünfzählige Drehachse und vertikale Spiegelebenen (Punktgruppe C_5v nach Schoenflies)

Reguläre Prismen mit Rotationsachsen und deren Zähligkeiten (n=1 bedeutet: ohne Drehsymmetrie)

Alle 13 Achsen der Rotationssymmetrie eines homogenen Würfels

Drei 4-zählige Achsen

Vier 3-zählige Achsen

Sechs 2-zählige Achsen

Piazza del Popolo mit den beiden (näherungsweise) spiegelsymmetrischen Kirchen Santa Maria di Monte Santo und Santa Maria dei Miracoli (und dem Obelisco Flaminio)

Vier Spiegelebenen von neun insgesamt und eine von 13 Rotationsachsen eines homogenen Würfels

Ausgewählte Drehspiegelachsen und Drehspiegelebenen eines homogenen Würfels und Wirkung der Drehspiegelung

Eine von drei 4-zähligen Achsen

Eine von vier 6-zähligen Achsen

Eine von sechs 2-zähligen Achsen (Inversion)

Eine von drei 4-zähligen Drehspiegelachsen mit Drehspiegelebene eines homogenen, regulären Tetraeders

Wirkung der Punktspiegelung / Inversion für vier ausgewählte Ecken eines Würfels