Würfel (Geometrie)

Der Würfel (von deutsch werfen, weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch regelmäßiges Hexaeder [hɛksaˈeːdər], von griech. hexáedron ‚Sechsflächner‘, oder Kubus, von altgriechisch κύβος kybos bzw. lat. cubus ‚Würfel‘) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein dreidimensionales Polyeder (Vielflächner) mit

Der Würfel ist ein spezielles dreidimensionales Parallelepiped, ein spezieller, nämlich gleichseitiger Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma. Die Größen eines Würfels werden bereits durch die Angabe eines Wertes, Kantenlänge, Flächendiagonale, Raumdiagonale, Oberflächeninhalt oder Volumen, festgelegt.

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polyeder. Er hat

Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von Schoenflies als ${\displaystyle O_{h}}$, in der Notation von Hermann / Mauguin als ${\displaystyle 4/m\ {\bar {3}}\ 2/m}$ oder allgemein aber etwas ungenau als Oktaedergruppe bzw. Würfelgruppe.

Euklid beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes Elemente, unter Proposition 15, die Konstruktion des Würfels.

„Einen Würfel einer Kugel mit gegebenem Durchmesser einbeschreiben. Das Quadrat über dem Durchmesser der Kugel ist dann gleich dem dreifachen Quadrat über der Kante des Würfels.“

Würfel in Kabinettprojektion (Dimetrie)
mit Beispielen der Drehachsen ${\displaystyle C_{2},C_{4},C_{3}}$ und der Spiegelebenen (rot bzw. grün)

Würfel (Hexaeder), Konstruktionsskizze

Würfel mit dualem Oktaeder. Die Mittelpunkte der Quadrate sind die Ecken des Oktaeders.

Raumwinkel ${\displaystyle \Omega }$ am Mittelpunkt ${\displaystyle \mathrm {M} }$ (= 0-Punkt) der Einheitskugel (${\displaystyle r=1}$)

Animation, eines Würfelnetzes

Die verschiedenen Netze des Würfels

Färbungen veranschaulicht
Würfel umschreibt dualen Oktaeder

Knotenfärbung des Würfelgraphen

Kantenfärbung des Würfelgraphen

Flächenfärbung des Würfelgraphen mit dualer Knotenfärbung des Oktaedergraphen

Würfelgraph mit Hamiltonkreis

Ein endlicher Teil des kubischen Flächengitters (Würfelgitter), der die Form eines Quaders hat. Die Ebenen verlaufen jeweils parallel zueinander. Die Schnittgeraden dieser Ebenen verlaufen parallel zueinander. Die Schnittpunkte bilden ein kubische Punktgitter.

Der blaue Würfel hat das doppelte Volumen des grünen Würfels.