Feldlinie


Eine Feldlinie ist eine grafische visuelle Hilfe zur Visualisierung von Vektorfeldern . Es besteht aus einer Linie , die gerichtet ist tangential zur Feldvektor an jedem Punkt entlang seiner Länge. [1] [2] Ein Diagramm, das einen repräsentativen Satz benachbarter Feldlinien zeigt, ist eine übliche Methode zur Darstellung eines Vektorfeldes in der wissenschaftlichen und mathematischen Literatur. Dies wird als Feldliniendiagramm bezeichnet . Sie werden verwendet, um unter anderem elektrische Felder , Magnetfelder und Gravitationsfelder darzustellen. In der Strömungsmechanik zeigen Feldlinien die GeschwindigkeitFeld eines Fluidstroms werden Stromlinien genannt .

Feldlinien, die das elektrische Feld darstellen, das durch eine positive Ladung (links), eine negative Ladung (Mitte) und ein ungeladenes Objekt (rechts) erzeugt wird.

Die Abbildung links zeigt die elektrischen Feldlinien zweier gleich positiver Ladungen. Die Abbildung rechts zeigt die elektrischen Feldlinien zweier gleicher Ladungen mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Ein Vektorfeld definiert eine Richtung und Größe an jedem Punkt im Raum. Eine Feldlinie für dieses Vektorfeld kann konstruiert werden, indem an einem Punkt begonnen und eine Linie durch den Raum gezogen wird, der der Richtung des Vektorfelds folgt, indem die Feldlinie an jedem Punkt tangential zum Feldvektor gemacht wird. [3] [2] [1] Eine Feldlinie wird normalerweise als gerichtetes Liniensegment angezeigt, wobei ein Pfeil die Richtung des Vektorfelds angibt. Bei zweidimensionalen Feldern sind die Feldlinien ebene Kurven, und die meisten Feldliniendiagramme sind von diesem Typ. Da das Vektorfeld an jedem Punkt, an dem es ungleich Null und endlich ist, eine eindeutige Richtung hat, können sich Feldlinien niemals schneiden, sodass genau eine Feldlinie durch jeden Punkt verläuft, an dem das Vektorfeld ungleich Null und endlich ist. [3] [2] Punkte, an denen das Feld Null oder unendlich ist, haben keine Feldlinie, da die Richtung dort nicht definiert werden kann, sondern die Endpunkte von Feldlinien sein können.

Da es unendlich viele Punkte gibt, kann unendlich viele Feldlinien gezeichnet werden. In einem Feldliniendiagramm kann jedoch nur eine begrenzte Anzahl angezeigt werden. Daher ist es eine Wahl der Person oder des Computerprogramms, die das Diagramm zeichnet, welche Feldlinien gezeigt werden, und ein einzelnes Vektorfeld kann durch verschiedene Sätze von Feldlinien dargestellt werden. Ein Feldliniendiagramm ist notwendigerweise eine unvollständige Beschreibung eines Vektorfeldes, da es keine Informationen über das Feld zwischen den gezeichneten Feldlinien enthält und die Wahl, wie viele und welche Linien angezeigt werden sollen, bestimmt, wie viele nützliche Informationen das Diagramm liefert.

Feldlinien beginnen an der Quelle eines Vektorfeldes, wo die Divergenz positiv ist. Feldlinien, die in die Senke eines Vektorfeldes gehen, wo die Divergenz negativ ist, haben dort ihr Ende. Feldlinien können auch geschlossene Schleifen bilden oder sich bis oder von unendlich erstrecken oder für immer fortbestehen, ohne sich selbst zu nähern. [4] [5] Eine einzelne Feldlinie zeigt die Richtung des Vektorfeldes, jedoch nicht die Größe . Um auch die Größe des Feldes darzustellen , kann eine Auswahl von Feldlinien so gezeichnet werden, dass die Dichte der Feldlinien (Anzahl der Feldlinien pro Einheit senkrechter Fläche) an jedem Ort proportional zur Größe des Vektorfeldes ist Punkt. Bereiche, in denen benachbarte Feldlinien konvergieren (näher zusammenrücken), zeigen an, dass das Feld in dieser Richtung stärker wird.

In der Physik sind Zeichnungen von Feldlinien hauptsächlich in Fällen nützlich, in denen die Quellen und Senken, falls vorhanden, eine physikalische Bedeutung haben, im Gegensatz beispielsweise zum Fall eines Kraftfelds einer radialen Harmonischen . Zum Beispiel besagt das Gaußsche Gesetz , dass ein elektrisches Feld Quellen mit positiven Ladungen hat , mit negativen Ladungen sinkt und auch nicht anderswo, so dass elektrische Feldlinien bei positiven Ladungen beginnen und bei negativen Ladungen enden. Ein Gravitationsfeld hat keine Quellen, es sinkt bei Massen und es hat auch keine anderen Gravitationsfeldlinien, die aus dem Unendlichen kommen und bei Massen enden. Ein Magnetfeld hat keine Quellen oder Senken ( Gaußsches Gesetz für Magnetismus ), daher haben seine Feldlinien keinen Anfang oder Ende: Sie können nur geschlossene Schleifen bilden, sich in beide Richtungen bis ins Unendliche erstrecken oder unbegrenzt fortfahren, ohne sich jemals zu kreuzen. Wie oben angegeben, kann jedoch eine spezielle Situation um Punkte auftreten, an denen das Feld Null ist (die nicht von Feldlinien geschnitten werden können, da ihre Richtung nicht definiert wäre) und der gleichzeitige Beginn und das gleichzeitige Ende von Feldlinien stattfinden. Diese Situation tritt beispielsweise in der Mitte zwischen zwei identischen positiven elektrischen Punktladungen auf. Dort verschwindet das Feld und die Linien, die axial von den Ladungen kommen, enden. Gleichzeitig divergiert in der durch den Mittelpunkt verlaufenden Querebene eine unendliche Anzahl von Feldlinien radial. Das gleichzeitige Vorhandensein der Linien, die enden und beginnen, bewahrt den divergenzfreien Charakter des Feldes im Punkt. [5]

Beachten Sie, dass es für diese Art von Zeichnung, bei der die Feldliniendichte proportional zur Feldgröße sein soll, wichtig ist, alle drei Dimensionen darzustellen. Betrachten Sie beispielsweise das elektrische Feld, das sich aus einer einzelnen isolierten Punktladung ergibt . Die elektrischen Feldlinien sind in diesem Fall gerade Linien, die im dreidimensionalen Raum gleichmäßig in alle Richtungen von der Ladung ausgehen. Dies bedeutet, dass ihre Dichte proportional zu ist, das richtige Ergebnis im Einklang mit Coulombs Gesetz für diesen Fall. Wenn jedoch die elektrischen Feldlinien für diesen Aufbau nur auf einer zweidimensionalen Ebene gezeichnet würden, wäre ihre zweidimensionale Dichte proportional zu, ein falsches Ergebnis für diese Situation. [6]

Bau einer Feldlinie

Gegeben ein Vektorfeld und ein Ausgangspunkt Eine Feldlinie kann iterativ konstruiert werden, indem der Feldvektor an diesem Punkt gefunden wird . Die Einheit Tangentenvektor an diesem Punkt ist:. Durch eine kurze Strecke bewegen Entlang der Feldrichtung kann ein neuer Punkt auf der Linie gefunden werden

Dann das Feld an diesem Punkt gefunden wird und eine weitere Strecke bewegt in diese Richtung der nächste Punkt der Feldlinie wird gefunden. An jedem Punkt Der nächste Punkt kann von gefunden werden

Durch Wiederholen und Verbinden der Punkte kann die Feldlinie beliebig verlängert werden. Dies ist nur eine Annäherung an die tatsächliche Feldlinie, da jedes gerade Segment das Feld entlang seiner Länge nur an seinem Startpunkt nicht tangiert. Aber mit einem ausreichend kleinen Wert fürMit einer größeren Anzahl kürzerer Schritte kann die Feldlinie so genau wie gewünscht angenähert werden. Die Feldlinie kann in entgegengesetzter Richtung von verlängert werden indem Sie jeden Schritt in die entgegengesetzte Richtung ausführen, indem Sie einen negativen Schritt verwenden .

Verschiedene Möglichkeiten, das Feld eines Magneten darzustellen.

Wenn das Vektorfeld ein Geschwindigkeitsfeld beschreibt , folgen die Feldlinien den Stromlinien im Fluss. Das vielleicht bekannteste Beispiel für ein durch Feldlinien beschriebenes Vektorfeld ist das Magnetfeld , das häufig anhand von Feldlinien dargestellt wird, die von einem Magneten ausgehen .

Feldlinien können verwendet werden, um bekannte Größen aus der Vektorrechnung zu verfolgen :

  • Eine Divergenz kann leicht durch Feldlinien gesehen werden, vorausgesetzt, die Linien sind so gezeichnet, dass die Dichte der Feldlinien proportional zur Größe des Feldes ist (siehe oben). In diesem Fall kann die Divergenz als Anfang und Ende von Feldlinien angesehen werden. Wenn das Vektorfeld das Ergebnis von radialen Feldern mit inversem Quadratgesetz in Bezug auf eine oder mehrere Quellen ist, entspricht dies der Tatsache, dass die Divergenz eines solchen Feldes außerhalb der Quellen Null ist. In einem solenoidalen Vektorfeld (dh einem Vektorfeld, in dem die Divergenz überall Null ist) beginnen und enden die Feldlinien weder; Sie bilden entweder geschlossene Schleifen oder gehen in beide Richtungen ins Unendliche. Wenn ein Vektorfeld in einem Bereich eine positive Divergenz aufweist, gibt es Feldlinien, die von Punkten in diesem Bereich ausgehen. Wenn ein Vektorfeld in einem Bereich eine negative Divergenz aufweist, gibt es Feldlinien, die an Punkten in diesem Bereich enden.
  • Das Kelvin-Stokes-Theorem zeigt, dass Feldlinien eines Vektorfeldes mit einer Krümmung von Null (dh ein konservatives Vektorfeld , z. B. ein Gravitationsfeld oder ein elektrostatisches Feld ) keine geschlossenen Schleifen sein können. Mit anderen Worten, Curl ist immer dann vorhanden, wenn eine Feldlinie eine geschlossene Schleife bildet. Es kann auch in anderen Situationen vorhanden sein, beispielsweise in einer helikalen Form von Feldlinien.

Wenn zufällig fallen gelassen (wie bei dem Schüttler hier), Eisen selbst eingereichten Unterlagen anordnen, um etwa einige Magnetfeldlinien darstellen. Das Magnetfeld wird durch einen Permanentmagneten unter der Glasoberfläche erzeugt.

Während Feldlinien eine "bloße" mathematische Konstruktion sind, erhalten sie unter bestimmten Umständen physikalische Bedeutung. In Strömungsmechanik , die Geschwindigkeitsfeldlinien ( Stromlinien darstellen) in stetigem Fluss die Bahnen der Teilchen des Fluids. Im Zusammenhang mit der Plasmaphysik , Elektronen oder Ionen , die auf der gleichen Feld Linie stark interact geschehen sein, während Partikel auf verschiedene Feldlinien im Allgemeinen nicht miteinander in Wechselwirkung. Dies ist das gleiche Verhalten, das die Partikel von Eisenspänen in einem Magnetfeld zeigen.

Die Eisenspäne auf dem Foto scheinen sich an diskreten Feldlinien auszurichten, aber die Situation ist komplexer. Es ist leicht als zweistufiger Prozess zu visualisieren: Erstens sind die Feilspäne gleichmäßig über das Magnetfeld verteilt, aber alle in Feldrichtung ausgerichtet. Dann dämpfen sie basierend auf dem Maßstab und den ferromagnetischen Eigenschaften der Feilspäne das Feld zu beiden Seiten und erzeugen die scheinbaren Zwischenräume zwischen den Linien, die wir sehen. [ Bearbeiten ] Natürlich sind die zwei Stufen hier beschriebenen gleichzeitig geschehen , bis ein Gleichgewicht erreicht wird. Da der intrinsische Magnetismus der Feilspäne das Feld verändert, sind die durch die Feilspäne gezeigten Linien nur eine Annäherung an die Feldlinien des ursprünglichen Magnetfelds. Magnetfelder sind kontinuierlich und haben keine diskreten Linien.

  • Kraftfeld (Physik)
  • Feldlinien von Julia setzt
  • Externe Strahlenfeldlinien des Douady-Hubbard-Potentials von Mandelbrot-Sets oder ausgefüllten Julia-Sets
  • Kraftlinie
  • Vektorfeld

  1. ^ a b Tou, Stephen (2011). Visualisierung von Feldern und Anwendungen in der Technik . John Wiley und Söhne. p. 64. ISBN 9780470978467.
  2. ^ a b c Durrant, Alan (1996). Vektoren in Physik und Technik . CRC Drücken Sie. S. 129–130. ISBN 9780412627101.
  3. ^ a b Haus, Herman A.; Mechior, James R. (1998). "Abschnitt 2.7: Visualisierung von Feldern und der Divergenz und Kräuselung" . Elektromagnetische Felder und Energie . Hypermedia Teaching Facility, Massachusetts Institute of Technology . Abgerufen am 9. November 2019 .
  4. ^ Lieberherr, Martin (6. Juli 2010). "Die Magnetfeldlinien einer Helixspule sind keine einfachen Schleifen". American Journal of Physics . 78 (11): 1117–1119. Bibcode : 2010AmJPh..78.1117L . doi : 10.1119 / 1.3471233 .
  5. ^ a b Zilberti, Luca (25. April 2017). "Das Missverständnis geschlossener magnetischer Flusslinien" . IEEE Magnetics Letters . 8 : 1–5. doi : 10.1109 / LMAG.2017.2698038 . S2CID  39584751 - über Zenodo ( https://zenodo.org/record/4518772#.YCJU_WhKjIU ).
  6. ^ A. Wolf, SJ Van Hook, ER-Wochen, elektrische Feldliniendiagramme funktionieren nicht Am. J. Phys. 64, No. 6. (1996), S. 714–724 DOI 10.1119 / 1.18237

  • Griffiths, David J. (1998). Einführung in die Elektrodynamik (3. Aufl.) . Prentice Hall. S.  65–67 und 232 . ISBN 978-0-13-805326-0.

  • Interaktives Java-Applet mit den elektrischen Feldlinien ausgewählter Ladungspaare von Wolfgang Bauer
  • Kursnotizen "Visualisierung von Feldern und Divergenz und Kräuselung" aus einem Kurs am Massachusetts Institute of Technology.