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Die Schleifenquantengravitation ( LQG ) [1] [2] [3] [4] [5] ist eine Theorie der Quantengravitation , die darauf abzielt, Quantenmechanik und allgemeine Relativitätstheorie zusammenzuführen und die Materie des Standardmodells in das für das reiner Quantengravitationsfall. Als Kandidat für die Quantengravitation konkurriert LQG mit der Stringtheorie . [6]

Die Schleifenquantengravitation ist ein Versuch, eine Quantentheorie der Gravitation zu entwickeln, die direkt auf Einsteins geometrischer Formulierung basiert und nicht auf der Behandlung der Schwerkraft als Kraft. Zu diesem Zweck werden in der LQG-Theorie Raum und Zeit analog zu der Art und Weise quantisiert , wie Größen wie Energie und Impuls in der Quantenmechanik quantisiert werden . Die Theorie liefert ein physikalisches Bild der Raumzeit, in der Raum und Zeit direkt aufgrund der Quantisierung körnig und diskret sind, genau wie Photonen in der Quantentheorie des Elektromagnetismus und der diskreten Energieniveaus von Atomen . Eine Implikation eines quantisierten Raums ist, dass ein Mindestabstand existiert.

LQG postuliert, dass die Struktur des Raums aus endlichen Schleifen besteht, die zu einem extrem feinen Stoff oder Netzwerk verwoben sind. Diese Schleifennetzwerke werden Spin-Netzwerke genannt . Die Entwicklung eines Spin-Netzwerks oder Spin-Schaums hat eine Skala in der Größenordnung einer Planck-Länge von ungefähr 10 bis 35 Metern, und kleinere Skalen sind bedeutungslos. Folglich bevorzugt nicht nur die Materie, sondern der Raum selbst eine atomare Struktur .

Die Forschungsbereiche, an denen weltweit etwa 30 Forschungsgruppen beteiligt sind [7], teilen die grundlegenden physikalischen Annahmen und die mathematische Beschreibung des Quantenraums. Die Forschung hat sich in zwei Richtungen entwickelt: die traditionellere kanonische Schleifenquantengravitation und die neuere kovariante Schleifenquantengravitation, die als Spin-Foam- Theorie bezeichnet wird.

Die am weitesten entwickelte Theorie, die als direktes Ergebnis der Schleifenquantengravitation entwickelt wurde, heißt Schleifenquantenkosmologie (LQC). LQC geht die Studie des frühen Universums, das Konzept der Einbeziehung Urknall in den breiteren Theorie des Big Bounce , die den Urknall als Beginn einer sieht Periode der Expansion , der eine Periode der Kontraktion folgt, die eine der sprechen konnte als der große Crunch .

Geschichte [ bearbeiten ]

1986 formulierte Abhay Ashtekar Einsteins allgemeine Relativitätstheorie in einer Sprache neu, die der der übrigen Grundlagenphysik näher kommt. [ Bearbeiten ] Kurz darauf Ted Jacobson und Lee Smolin erkannten , dass die formale Gleichung der Quantengravitation, die genannt Wheeler-DeWitt - Gleichung , gab Lösungen gekennzeichnet durch Schleifen , wenn sie in dem neuen neu geschrieben Ashtekar Variablen . Carlo Rovelli und Smolin definierten eine nicht störende und hintergrundunabhängige Quantentheorie der Schwerkraft in Bezug auf diese Schleifenlösungen. Jorge Pullinund Jerzy Lewandowski verstand, dass die Schnittpunkte der Schleifen für die Konsistenz der Theorie wesentlich sind, und die Theorie sollte in Form von sich kreuzenden Schleifen oder Graphen formuliert werden .

Im Jahr 1994 zeigten Rovelli und Smolin , daß die Quanten Operatoren der Theorie verbunden zu Fläche und das Volumen ein diskretes Spektrum aufweisen. Das heißt, die Geometrie wird quantisiert. Dieses Ergebnis definiert eine explizite Basis von Zuständen der Quantengeometrie, die sich als durch Roger Penrose ' Spin-Netzwerke gekennzeichnet herausstellten , die durch Spins gekennzeichnete Graphen sind .

Die kanonische Version der Dynamik wurde von Thomas Thiemann erstellt, der einen anomaliefreien Hamilton-Operator definierte und die Existenz einer mathematisch konsistenten hintergrundunabhängigen Theorie zeigte. Die kovariante oder " Spin Foam " -Version der Dynamik wurde über mehrere Jahrzehnte von Forschungsgruppen in Frankreich, Kanada, Großbritannien, Polen und Deutschland gemeinsam entwickelt. Es wurde 2008 fertiggestellt und führte zur Definition einer Familie von Übergangsamplituden, von denen in der klassischen Grenze gezeigt werden kann, dass sie mit einer Familie von Verkürzungen der allgemeinen Relativitätstheorie zusammenhängen. [8] Die Endlichkeit dieser Amplituden wurde 2011 nachgewiesen. [9] [10] Es erfordert die Existenz einer positiven kosmologischen KonstanteDies steht im Einklang mit der beobachteten Beschleunigung der Expansion des Universums .

Allgemeine Kovarianz und Hintergrundunabhängigkeit [ Bearbeiten ]

In der theoretischen Physik ist allgemeine Kovarianz die Invarianz der Form physikalischer Gesetze unter willkürlich differenzierbaren Koordinatentransformationen. Die wesentliche Idee ist, dass Koordinaten nur Artefakte sind, die zur Beschreibung der Natur verwendet werden, und daher bei der Formulierung grundlegender physikalischer Gesetze keine Rolle spielen sollten. Eine wichtigere Anforderung ist das Prinzip der allgemeinen Relativitätstheorie, das besagt, dass die Gesetze der Physik in allen Bezugssystemen dieselbe Form haben. Dies ist eine Verallgemeinerung des Prinzips der speziellen Relativitätstheorie, die besagt, dass die Gesetze der Physik in allen Trägheitsrahmen dieselbe Form annehmen.

In der Mathematik ist ein Diffeomorphismus ein Isomorphismus in der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten. Es ist eine invertierbare Funktion, die einen differenzierbaren Verteiler auf einen anderen abbildet , so dass sowohl die Funktion als auch ihre Umkehrung glatt sind. Dies sind die definierenden Symmetrietransformationen der Allgemeinen Relativitätstheorie, da die Theorie nur in Form einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit formuliert ist.

In der allgemeinen Relativitätstheorie ist die allgemeine Kovarianz eng mit der "Diffeomorphismus-Invarianz" verbunden. Diese Symmetrie ist eines der bestimmenden Merkmale der Theorie. Es ist jedoch ein weit verbreitetes Missverständnis, dass sich "Diffeomorphismus-Invarianz" auf die Invarianz der physikalischen Vorhersagen einer Theorie unter willkürlichen Koordinatentransformationen bezieht ; Dies ist nicht wahr und tatsächlich ist jede physikalische Theorie unter Koordinatentransformationen auf diese Weise unveränderlich. Diffeomorphismen , wie Mathematiker sie definieren, entsprechen etwas viel Radikalerem; intuitiv kann man sich vorstellen, alle physikalischen Felder (einschließlich des Gravitationsfeldes) gleichzeitig über die bloße differenzierbare Mannigfaltigkeit zu ziehenwährend Sie im gleichen Koordinatensystem bleiben. Diffeomorphismen sind die wahren Symmetrietransformationen der allgemeinen Relativitätstheorie und ergeben sich aus der Behauptung, dass die Formulierung der Theorie auf einer bloß differenzierbaren Mannigfaltigkeit basiert, jedoch nicht auf einer früheren Geometrie - die Theorie ist hintergrundunabhängig(Dies ist eine tiefgreifende Verschiebung, da alle physikalischen Theorien vor der allgemeinen Relativitätstheorie als Teil ihrer Formulierung eine frühere Geometrie hatten). Was bei solchen Transformationen erhalten bleibt, sind die Übereinstimmungen zwischen den Werten, die das Gravitationsfeld an einem solchen und einem solchen "Ort" annimmt, und den Werten, die die Materiefelder dort annehmen. Aus diesen Beziehungen kann man sich vorstellen, dass sich Materie in Bezug auf das Gravitationsfeld befindet oder umgekehrt. Dies ist, was Einstein entdeckte: dass physikalische Einheiten nur in Bezug aufeinander und nicht in Bezug auf die Raumzeit-Mannigfaltigkeit lokalisiert sind. Wie Carlo Rovelli es ausdrückt: "Keine Felder mehr in der Raumzeit: nur Felder in Feldern". [11]Dies ist die wahre Bedeutung des Sprichworts "Die Bühne verschwindet und wird einer der Schauspieler"; Raum-Zeit als "Container", über dem die Physik stattfindet, hat keine objektive physikalische Bedeutung, sondern die Gravitationswechselwirkung wird als eines der Felder dargestellt, die die Welt bilden. Dies ist als relationalistische Interpretation der Raumzeit bekannt. Die Erkenntnis von Einstein, dass die allgemeine Relativitätstheorie so interpretiert werden sollte, ist der Ursprung seiner Bemerkung "Jenseits meiner wildesten Erwartungen".

In LQG wird dieser Aspekt der allgemeinen Relativitätstheorie ernst genommen und diese Symmetrie wird erhalten, indem verlangt wird, dass die physikalischen Zustände unter den Generatoren von Diffeomorphismen unveränderlich bleiben. Die Interpretation dieser Bedingung ist für rein räumliche Diffeomorphismen gut bekannt. Das Verständnis von Diffeomorphismen, die Zeit betreffen (die Hamiltonsche Beschränkung ), ist jedoch subtiler, da es mit der Dynamik und dem sogenannten " Problem der Zeit " in der allgemeinen Relativitätstheorie zusammenhängt. [12] Ein allgemein anerkannter Berechnungsrahmen zur Berücksichtigung dieser Einschränkung muss noch gefunden werden. [13] [14] Ein plausibler Kandidat für die Quanten-Hamilton-Bedingung ist der von Thiemann eingeführte Operator. [fünfzehn]

LQG ist formal hintergrundunabhängig . Die Gleichungen von LQG sind nicht in Raum und Zeit eingebettet oder von diesen abhängig (mit Ausnahme der invarianten Topologie). Stattdessen wird erwartet, dass sie in Entfernungen, die das Zehnfache der Planck-Länge betragen, Raum und Zeit entstehen lassen . Das Problem der Hintergrundunabhängigkeit in LQG weist noch einige ungelöste Feinheiten auf. Beispielsweise erfordern einige Ableitungen eine feste Auswahl der Topologie , während jede konsistente Quantentheorie der Schwerkraft die Topologieänderung als dynamischen Prozess einschließen sollte.

Einschränkungen und ihre Poisson-Klammeralgebra [ Bearbeiten ]

Die Einschränkungen der klassischen kanonischen allgemeinen Relativitätstheorie [ edit ]

Die allgemeine Relativitätstheorie ist ein Beispiel für ein eingeschränktes System. In der Hamiltonschen Formulierung der gewöhnlichen klassischen Mechanik ist die Poisson-Klammer ein wichtiges Konzept. Ein "kanonisches Koordinatensystem" besteht aus kanonischen Positions- und Impulsvariablen, die kanonische Poisson-Klammer-Beziehungen erfüllen.

wo die Poisson-Klammer durch gegeben ist

für beliebige Phasenraumfunktionen und . Mit der Verwendung von Poisson-Klammern können die Hamilton-Gleichungen wie folgt umgeschrieben werden:

Diese Gleichungen beschreiben eine " Strömung " oder Umlaufbahn im Phasenraum, die vom Hamilton-Operator erzeugt wird . Bei jeder Phasenraumfunktion ergibt sich

In ähnlicher Weise erzeugt die Poisson-Klammer zwischen einer Beschränkung und den Phasenraumvariablen einen Fluss entlang einer Umlaufbahn im (nicht beschränkten) Phasenraum, der durch die Beschränkung erzeugt wird. Es gibt drei Arten von Einschränkungen bei Ashtekars Neuformulierung der klassischen allgemeinen Relativitätstheorie:

SU (2) Einschränkungen der Gauß-Anzeige [ Bearbeiten ]

Die Gauß-Einschränkungen

Dies stellt eine unendliche Anzahl von Einschränkungen dar, eine für jeden Wert von . Diese entstehen durch die Wiederholung der Allgemeinen Relativitätstheorie als Eichentheorie vom Yang-Mills- Typ (Yang-Mills ist eine Verallgemeinerung der Maxwellschen Theorie, bei der sich das Eichfeld als Vektor unter Gauß-Transformationen transformiert, dh das Eichfeld hat die Form, in der ist ein interner Index (siehe Ashtekar-Variablen ). Diese unendliche Anzahl von Gauss Gauge Constraints „wird verschmiert “ von Testfeldern mit internen Indizes ,

die für eine solche Funktion verschwinden muss. Diese verschmierten Einschränkungen, die in Bezug auf einen geeigneten Raum von Schmierfunktionen definiert sind, geben eine äquivalente Beschreibung zu den ursprünglichen Einschränkungen.

Ashtekars Formulierung kann als gewöhnliche Yang-Mills-Theorie betrachtet werden, zusammen mit den folgenden speziellen Einschränkungen, die sich aus der Diffeomorphismus-Invarianz ergeben, und einem Hamilton-Operator, der verschwindet. Die Dynamik einer solchen Theorie unterscheidet sich daher stark von der der gewöhnlichen Yang-Mills-Theorie.

Einschränkungen der räumlichen Diffeomorphismen [ Bearbeiten ]

Die räumlichen Diffeomorphismusbeschränkungen

kann durch die sogenannten Verschiebungsfunktionen verschmiert werden , um einen äquivalenten Satz von verschmierten räumlichen Diffeomorphismusbeschränkungen zu ergeben,

Diese erzeugen räumliche Diffeomorphismen entlang von Bahnen, die durch die Verschiebungsfunktion definiert sind .

Hamiltonsche Einschränkungen [ Bearbeiten ]

Der Hamiltonianer

kann durch die sogenannten Lapse-Funktionen verschmiert werden , um einen äquivalenten Satz verschmierter Hamilton-Bedingungen zu erhalten.

.

Diese erzeugen Zeitdifferenzmorphismen entlang von Bahnen, die durch die Zeitrafferfunktion definiert sind .

In der Ashtekar-Formulierung ist das Eichfeld die Konfigurationsvariable (die Konfigurationsvariable ist analog zu der gewöhnlichen Mechanik) und ihr konjugierter Impuls ist die (verdichtete) Triade (elektrisches Feld) . Die Einschränkungen sind bestimmte Funktionen dieser Phasenraumvariablen.

Ein wichtiger Aspekt der Wirkung der Beschränkungen auf beliebige Phasenraumfunktionen ist die Lie-Ableitung , die im Grunde eine Ableitungsoperation ist, die Funktionen entlang einer Umlaufbahn mit einem Tangentenvektor infinitesimal "verschiebt" .

Dirac Observables [ Bearbeiten ]

Die Einschränkungen definieren eine Einschränkungsfläche im ursprünglichen Phasenraum. Die Eichbewegungen der Beschränkungen gelten für den gesamten Phasenraum, haben jedoch das Merkmal, dass sie die Beschränkungsfläche dort belassen, wo sie sich befindet, und daher ist die Umlaufbahn eines Punktes in der Hyperfläche unter Eichentransformationen eine vollständig darin befindliche Umlaufbahn. Dirac-Observablen sind als Phasenraumfunktionen definiert , die Poisson mit allen Einschränkungen pendelt, wenn die Einschränkungsgleichungen auferlegt werden.

,

Das heißt, es handelt sich um auf der Beschränkungsfläche definierte Größen, die unter den Eichentransformationen der Theorie unveränderlich sind.

Wenn wir dann nur die Einschränkung lösen und die Dirac-Observablen in Bezug darauf bestimmen, gelangen wir zurück zum Phasenraum Arnowitt-Deser-Misner (ADM) mit Einschränkungen . Die Dynamik der allgemeinen Relativitätstheorie wird durch die Randbedingungen erzeugt. Es kann gezeigt werden, dass sechs Einstein-Gleichungen, die die Zeitentwicklung beschreiben (eigentlich eine Eichentransformation), durch Berechnung der Poisson-Klammern der Drei-Metrik und ihres konjugierten Impulses mit einer linearen Kombination von erhalten werden können der räumliche Diffeomorphismus und die Hamiltonsche Beschränkung. Das Verschwinden der Zwänge, die den physikalischen Phasenraum ergeben, sind die vier anderen Einstein-Gleichungen. [16]

Quantisierung der Randbedingungen - die Gleichungen der allgemeinen Quantenrelativität [ edit ]

Pre-History und Ashtekar neue Variablen [ bearbeiten ]

Viele der technischen Probleme bei der kanonischen Quantengravitation drehen sich um die Einschränkungen. Die kanonische allgemeine Relativitätstheorie wurde ursprünglich in Form von metrischen Variablen formuliert, aber es schien unüberwindbare mathematische Schwierigkeiten zu geben, die Einschränkungen für Quantenoperatoren zu fördern, da sie stark nichtlinear von den kanonischen Variablen abhängen. Die Gleichungen wurden mit der Einführung der neuen Variablen von Ashtekar stark vereinfacht. Ashtekar-Variablen beschreiben die kanonische allgemeine Relativitätstheorie anhand eines neuen Paares kanonischer Variablen, die denen der Eichentheorien näher kommen. Der erste Schritt besteht in der Verwendung von verdichteten Triaden (eine Triade besteht einfach aus drei orthogonalen Vektorfeldern, die mit gekennzeichnet sind, und die verdichtete Triade wird durch definiert) um Informationen über die räumliche Metrik zu codieren,

.

(Wo ist die flache Raummetrik, und die obige Gleichung drückt aus, dass sie , wenn sie in Bezug auf die Basis geschrieben wird , lokal flach ist). (Die Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie mit Triaden anstelle von Metriken war nicht neu.) Die verdichteten Triaden sind nicht eindeutig, und tatsächlich kann man eine lokale Rotation im Raum in Bezug auf die internen Indizes durchführen . Die kanonisch konjugierte Variable hängt mit der extrinsischen Krümmung durch zusammen . Ähnliche Probleme wie bei der Verwendung der metrischen Formulierung treten jedoch auf, wenn versucht wird, die Theorie zu quantisieren. Ashtekars neue Erkenntnis bestand darin, eine neue Konfigurationsvariable einzuführen.

das verhält sich wie eine komplexe verbindung, bei der es sich um die sogenannte spinverbindung über handelt . Hier wird die chirale Spinverbindung genannt. Es definiert eine kovariante Ableitung . Es stellt sich heraus, dass dies der konjugierte Impuls von Ashtekars neuen Variablen ist und diese zusammen bilden.

Die Ausdrücke für die Einschränkungen in Ashtekar-Variablen; Das Gaußsche Gesetz, die räumliche Diffeomorphismusbeschränkung und die (verdichtete) Hamiltonsche Beschränkung lauten dann:

,

Wo ist der Feldstärke-Tensor der Verbindung und wo wird als Vektorbeschränkung bezeichnet? Die oben erwähnte lokale Rotationsinvarianz im Raum ist das Original der hier durch das Gauß-Gesetz ausgedrückten Eichinvarianz. Beachten Sie, dass diese Einschränkungen in den Grundvariablen polynomisch sind, im Gegensatz zu den Einschränkungen in der Metrikformulierung. Diese dramatische Vereinfachung schien den Weg zur Quantifizierung der Einschränkungen zu ebnen. ( Eine Ableitung von Ashtekars Formalismus finden Sie im Artikel Selbst-duale Palatini-Aktion .)

Bei den neuen Variablen von Ashtekar ist es angesichts der Konfigurationsvariablen selbstverständlich, Wellenfunktionen zu berücksichtigen . Dies ist die Verbindungsdarstellung. Es ist analog zur gewöhnlichen Quantenmechanik mit Konfigurationsvariablen und Wellenfunktionen . Die Konfigurationsvariable wird über Folgendes zu einem Quantenoperator befördert.

(analog zu ) und die Triaden sind (funktionelle) Derivate,

.

(analog zu ). Beim Übergang zur Quantentheorie werden die Einschränkungen zu Operatoren für einen kinematischen Hilbert-Raum (den unbeschränkten Yang-Mills-Hilbert-Raum). Beachten Sie, dass unterschiedliche Ordnungen der 's und ' s beim Ersetzen der 's durch Derivate zu unterschiedlichen Operatoren führen - die getroffene Wahl wird als Faktorreihenfolge bezeichnet und sollte durch physikalisches Denken gewählt werden. Formal lesen sie

.

Es gibt immer noch Probleme, alle diese Gleichungen richtig zu definieren und zu lösen. Zum Beispiel war die Hamilton-Einschränkung, mit der Ashtekar arbeitete, die verdichtete Version anstelle der ursprünglichen Hamilton-Bedingung, dh mit der er arbeitete . Es gab ernsthafte Schwierigkeiten, diese Menge einem Quantenoperator bekannt zu machen. Obwohl Ashtekar-Variablen die Tugend hatten, den Hamilton-Operator zu vereinfachen, sind sie darüber hinaus komplex. Wenn man die Theorie quantisiert, ist es schwierig sicherzustellen, dass man die reale allgemeine Relativitätstheorie im Gegensatz zur komplexen allgemeinen Relativitätstheorie wiedererlangt.

Quantenbeschränkungen als Gleichungen der allgemeinen Quantenrelativität [ Bearbeiten ]

Das klassische Ergebnis der Poisson-Klammer des verschmierten Gaußschen Gesetzes mit den Verbindungen ist

Das Quanten-Gauß-Gesetz lautet

Wenn man das Quanten-Gauß-Gesetz verschmiert und seine Wirkung auf den Quantenzustand untersucht, stellt man fest, dass die Wirkung der Beschränkung auf den Quantenzustand gleichbedeutend ist mit einer Verschiebung des Arguments um eine infinitesimale (im Sinne des Parameters klein) Eichentransformation.

und die letzte Identität kommt von der Tatsache, dass die Beschränkung den Staat vernichtet. Die Einschränkung als Quantenoperator erlegt also dieselbe Symmetrie auf, die ihr Verschwinden klassisch auferlegt: Sie sagt uns, dass die Funktionen Eichinvariante Funktionen der Verbindung sein müssen. Die gleiche Idee gilt für die anderen Einschränkungen.

Daher wird der zweistufige Prozess in der klassischen Theorie der Lösung der Einschränkungen (gleichbedeutend mit der Lösung der Zulässigkeitsbedingungen für die Anfangsdaten) und der Suche nach den Eichbahnen (Lösung der 'Evolutions'-Gleichungen) durch einen einstufigen Prozess im Quantum ersetzt Theorie, nämlich nach Lösungen der Quantengleichungen zu suchen . Dies liegt daran, dass es offensichtlich die Beschränkung auf Quantenebene löst und gleichzeitig nach Zuständen sucht, die Eichinvarianten sind, da dies der Quantengenerator für Eichentransformationen ist (Eichinvariantenfunktionen sind entlang der Eichbahnen konstant und charakterisieren sie somit). [17] Wir erinnern daran, dass auf der klassischen Ebene das Lösen der Zulässigkeitsbedingungen und der Evolutionsgleichungen dem Lösen aller Einsteinschen Feldgleichungen gleichwertig war. Dies unterstreicht die zentrale Rolle der Quantenbeschränkungsgleichungen in der kanonischen Quantengravitation.

Einführung der Schleifendarstellung [ Bearbeiten ]

Es war insbesondere die Unfähigkeit, eine gute Kontrolle über den Raum der Lösungen für das Gaußsche Gesetz und räumliche Diffeomorphismusbeschränkungen zu haben, die Rovelli und Smolin veranlasste, die Schleifendarstellung in Eichentheorien und der Quantengravitation zu berücksichtigen . [18]

LQG beinhaltet das Konzept einer Holonomie . Eine Holonomie ist ein Maß dafür, wie stark sich die Anfangs- und Endwerte eines Spinors oder Vektors nach dem parallelen Transport um eine geschlossene Schleife unterscheiden. es wird bezeichnet

.

Die Kenntnis der Holonomien ist gleichbedeutend mit der Kenntnis der Verbindung, bis hin zur Gleichwertigkeit. Holonomien können auch mit einer Kante verknüpft werden. nach einem Gaußschen Gesetz verwandeln sich diese als

.

Für eine geschlossene Schleife und unter der Annahme ergibt sich

oder

.

Die Spur einer Holonomie um eine geschlossene Schleife wird geschrieben

und heißt Wilson-Schleife. Somit sind Wilson-Schleifen unveränderlich. Die explizite Form der Holonomie ist

Wo ist die Kurve, entlang der die Holonomie ausgewertet wird, und ist ein Parameter entlang der Kurve, bezeichnet Pfadordnungsbedeutungsfaktoren für kleinere Werte von links und sind Matrizen, die die Algebra erfüllen

.

Die Pauli-Matrizen erfüllen die obige Beziehung. Es stellt sich heraus, dass es unendlich viele weitere Beispiele für Sätze von Matrizen gibt, die diese Beziehungen erfüllen, wobei jeder Satz Matrizen mit enthält und bei denen keines davon in zwei oder mehr Beispiele niedrigerer Dimension zerlegt werden kann. Sie werden verschiedene irreduzible Darstellungen der Algebra genannt. Die grundlegendste Darstellung sind die Pauli-Matrizen. Die Holonomie wird gemäß der verwendeten irreduziblen Darstellung durch eine halbe Ganzzahl gekennzeichnet .

Die Verwendung von Wilson-Schleifen löst explizit die Einschränkung des Gauß-Messgeräts. Eine Schleifendarstellung ist erforderlich, um die räumliche Diffeomorphismusbeschränkung zu handhaben. Mit Wilson-Schleifen als Basis erweitert sich jede invariante Funktion des Gauß-Messgeräts wie folgt:

Dies wird als Schleifentransformation bezeichnet und ist analog zur Impulsdarstellung in der Quantenmechanik (siehe Position und Impulsraum ). Die QM-Darstellung basiert auf Zuständen, die durch eine Zahl gekennzeichnet sind, und wird als erweitert

.

und arbeitet mit den Koeffizienten der Expansion

Die inverse Schleifentransformation ist definiert durch

.

Dies definiert die Schleifendarstellung. Wenn ein Operator in der Verbindungsdarstellung angegeben ist,

man sollte den entsprechenden Operator definiert auf über in der Schleife Darstellung,

wo durch die übliche inverse Schleifentransformation definiert ist,

Eine Transformationsformel, die die Wirkung des Operators auf in Bezug auf die Wirkung des Operators auf angibt, wird dann erhalten, indem die RHS von mit der RHS von mit substituiert in gleichgesetzt wird , nämlich

,

oder

,

Dabei bedeutet der Operator, jedoch mit umgekehrter Faktorreihenfolge (denken Sie an die einfache Quantenmechanik, bei der das Produkt der Operatoren unter Konjugation umgekehrt wird). Die Aktion dieses Operators auf die Wilson-Schleife wird als Berechnung in der Verbindungsdarstellung ausgewertet und das Ergebnis wird lediglich als Manipulation in Bezug auf Schleifen neu angeordnet (in Bezug auf die Aktion auf der Wilson-Schleife ist der ausgewählte transformierte Operator derjenige mit die entgegengesetzte Faktorreihenfolge im Vergleich zu der für die Wirkung auf Wellenfunktionen verwendeten ). Dies gibt die physikalische Bedeutung des Bedieners an . Wenn beispielsweise zu einem räumlichen Diffeomorphismus entspricht, so kann dies daran gedacht werden , wie hält das Anschlussfeld vonwo es ist, während stattdessen ein räumlicher Diffeomorphismus durchgeführt wird. Daher ist die Bedeutung von ein räumlicher Diffeomorphismus auf das Argument von .

In der Schleifendarstellung wird die räumliche Diffeomorphismusbeschränkung gelöst, indem Funktionen von Schleifen berücksichtigt werden , die unter räumlichen Diffeomorphismen der Schleife invariant sind . Das heißt, Knoteninvarianten werden verwendet. Dies eröffnet eine unerwartete Verbindung zwischen Knotentheorie und Quantengravitation.

Jede Sammlung nicht schneidender Wilson-Schleifen erfüllt Ashtekars Quanten-Hamilton-Bedingung. Unter Verwendung einer bestimmten Reihenfolge von Begriffen und Ersetzen durch eine Ableitung ist die Wirkung der Quanten-Hamilton-Beschränkung auf eine Wilson-Schleife

.

Wenn eine Ableitung genommen wird, wird der Tangentenvektor der Schleife herabgesetzt . So,

.

Da dies jedoch in den Indizes antisymmetrisch ist und dies verschwindet (dies setzt voraus, dass es nirgendwo diskontinuierlich ist und der Tangentenvektor daher eindeutig ist).

In Bezug auf die Schleifendarstellung verschwinden die Wellenfunktionen, wenn die Schleife Diskontinuitäten aufweist und Knoteninvarianten sind. Solche Funktionen lösen das Gaußsche Gesetz, die räumliche Diffeomorphismusbeschränkung und (formal) die Hamiltonsche Beschränkung. Dies ergibt eine unendliche Menge exakter (wenn auch nur formaler) Lösungen für alle Gleichungen der allgemeinen Quantenrelativität! [18] Dies stieß auf großes Interesse an dem Ansatz und führte schließlich zu LQG.

Geometrische Operatoren, die Notwendigkeit, Wilson-Schleifen und Spin-Netzwerkzustände zu schneiden [ Bearbeiten ]

Die einfachste geometrische Größe ist die Fläche. Wählen wir die Koordinaten so, dass die Oberfläche durch gekennzeichnet ist . Die Fläche des kleinen Parallelogramms der Oberfläche ist das Produkt der Länge jeder Seitenzeit, wobei der Winkel zwischen den Seiten ist. Angenommen, eine Kante ist durch den Vektor und die andere bis dahin gegeben.

In dem von und überspannten Raum gibt es ein infinitesimales Parallelogramm, das durch und beschrieben wird . Mit (wobei die Indizes und von 1 bis 2 verlaufen) ergibt sich die Fläche der Oberfläche, die durch gegeben ist

wo und ist die Determinante der am induzierten Metrik . Letzteres kann umgeschrieben werden, wenn die Indizes von 1 bis 2 reichen. Dies kann weiter umgeschrieben werden als

.

Die Standardformel für eine inverse Matrix lautet

.

Es gibt eine Ähnlichkeit zwischen diesem und dem Ausdruck für . Aber in Ashtekar-Variablen , . Deshalb,

.

Nach den Regeln der kanonischen Quantisierung sollten die Triaden zu Quantenoperatoren befördert werden.

.

Das Gebiet kann zu einem genau definierten Quantenoperator befördert werden, obwohl es ein Produkt aus zwei funktionellen Derivaten und einer Quadratwurzel enthält. [19] Putten ( -te Darstellung),

.

Diese Größe ist in der endgültigen Formel für das Flächenspektrum wichtig. Das Ergebnis ist

Dabei liegt die Summe über allen Kanten der Wilson-Schleife, die die Oberfläche durchbohren .

Die Formel für das Volumen einer Region ist gegeben durch

.

Die Quantisierung des Volumens erfolgt auf die gleiche Weise wie bei der Fläche. Jedes Mal, wenn die Ableitung genommen wird, wird der Tangentenvektor heruntergefahren , und wenn der Volumenoperator auf nicht schneidende Wilson-Schleifen einwirkt, verschwindet das Ergebnis. Quantenzustände mit einem Volumen ungleich Null müssen daher Schnittpunkte beinhalten. Da die antisymmetrische Summierung in der Formel für das Volumen übernommen wird, sind Schnittpunkte mit mindestens drei nicht koplanaren Linien erforderlich . Es sind mindestens vierwertige Eckpunkte erforderlich, damit der Volumenoperator nicht verschwindet.

Unter der Annahme der tatsächlichen Darstellung, wo sich die Eichgruppe befindet , sind Wilson-Schleifen eine übermäßige Basis, da es Identitäten gibt, die verschiedene Wilson-Schleifen betreffen. Diese treten auf, weil Wilson-Schleifen auf Matrizen (der Holonomie) basieren und diese Matrizen Identitäten erfüllen. Gegeben zwei beliebige Matrizen und ,

.

Dies impliziert, dass zwei Schleifen gegeben sind und sich schneiden,

wobei damit die Schleife gemeint ist, die in die entgegengesetzte Richtung durchlaufen wird, und die Schleife bedeutet, die durch Umgehen der Schleife und dann entlang erhalten wird . Siehe Abbildung unten. Wenn man bedenkt, dass die Matrizen einheitlich sind, hat man das . Auch angesichts der zyklischen Eigenschaft der Matrixspuren (dh ) hat man diese. Diese Identitäten können miteinander zu weiteren Identitäten mit zunehmender Komplexität kombiniert werden, wodurch mehr Schleifen hinzugefügt werden. Diese Identitäten sind die sogenannten Mandelstam-Identitäten. Bei bestimmten Spin-Netzwerken handelt es sich um lineare Kombinationen sich überschneidender Wilson-Schleifen, mit denen die durch die Mandelstam-Identitäten verursachte Übervollständigkeit behoben werden soll (bei dreiwertigen Schnittpunkten wird die Übervollständigkeit vollständig beseitigt), und sie bilden tatsächlich eine Grundlage für alle Eichinvariantenfunktionen.

Grafische Darstellung der einfachsten nicht trivialen Mandelstam-Identität in Bezug auf verschiedene Wilson-Schleifen .

Wie oben erwähnt, sagt die Holonomie, wie man Testspin-Halbpartikel vermehrt. Ein Spin-Netzwerkzustand weist einem Satz von Spin-Halbpartikeln, die einen Pfad im Raum verfolgen, verschmelzen und sich teilen, eine Amplitude zu. Diese werden durch Spin-Netzwerke beschrieben : Die Kanten werden durch Spins zusammen mit "Intertwinern" an den Eckpunkten gekennzeichnet, die vorschreiben, wie über verschiedene Arten der Umleitung der Spins summiert werden soll. Die Summe über die Umleitung wird als solche gewählt, um die Form des Verflechters unter Gauß-Eichentransformationen invariant zu machen.

Reale Variablen, moderne Analyse und LQG [ Bearbeiten ]

Lassen Sie uns näher auf die technischen Schwierigkeiten eingehen, die mit der Verwendung von Ashtekars Variablen verbunden sind:

Mit Ashtekars Variablen verwendet man eine komplexe Verbindung und so ist die relevante Messgruppe tatsächlich und nicht . Da es nicht kompakt ist , schafft es ernsthafte Probleme für den rigorosen Aufbau der notwendigen mathematischen Maschinen. Die Gruppe hingegen ist kompakt und die erforderlichen Konstruktionen wurden entwickelt.

Wie oben erwähnt, ist die resultierende allgemeine Relativitätstheorie komplex, da Ashtekars Variablen komplex sind. Um die reale Theorie wiederherzustellen, muss man sogenannte "Realitätsbedingungen" auferlegen. Diese erfordern, dass die verdichtete Triade real ist und dass der Realteil der Ashtekar-Verbindung gleich der kompatiblen Spin-Verbindung (wobei die Kompatibilitätsbedingung ist ) durch die verdichtete Triade bestimmt wird. Der Ausdruck für eine kompatible Verbindung ist ziemlich kompliziert und als solche tritt eine nichtpolynomielle Formel durch die Hintertür ein.

Da eine Tensordichte des Gewicht Transformationen wie ein gewöhnlicher Tensor der Ausnahme , dass die te Potenz des Jacobi ,

erscheint auch als ein Faktor, dh

Aus allgemeinen Gründen ist es unmöglich, einen UV-endlichen, nicht verletzenden Diffeomorphismus-Operator zu konstruieren, der dem entspricht . Der Grund ist, dass die neu skalierte Hamilton-Beschränkung eine Skalardichte des Gewichts zwei ist, während gezeigt werden kann, dass nur Skalardichten des Gewichts eins die Chance haben, zu einem genau definierten Operator zu führen. Somit ist man gezwungen, mit der ursprünglichen nicht neu skalierten Hamilton-Bedingung mit einer Dichte von einem Wert zu arbeiten. Dies ist jedoch nicht polynomisch und die gesamte Tugend der komplexen Variablen wird in Frage gestellt. Tatsächlich verschwanden alle Lösungen, die für Ashtekars Hamiltonsche Beschränkung konstruiert wurden, nur für eine endliche Regularisierung , dies verletzt jedoch die Invarianz des räumlichen Diffeomorphismus.

Ohne die Implementierung und Lösung der Hamiltonschen Beschränkung können keine Fortschritte erzielt werden und es sind keine verlässlichen Vorhersagen möglich.

Um das erste Problem zu lösen, arbeitet man mit der Konfigurationsvariablen

wo ist real (wie von Barbero hervorgehoben, der einige Zeit nach Ashtekars Variablen reale Variablen einführte [20] [21] ). Das Gaußsche Gesetz und die räumlichen Diffeomorphismusbeschränkungen sind gleich. In realen Ashtekar-Variablen ist der Hamilton-Operator

.

Die komplizierte Beziehung zwischen und den desitisierten Triaden verursacht bei der Quantisierung ernsthafte Probleme. Mit der Wahl wird der zweite kompliziertere Begriff zum Verschwinden gebracht. Wie oben erwähnt, erscheint es jedoch unter den Realitätsbedingungen wieder. Es gibt immer noch das Problem des Faktors.

Thiemann hat es geschafft, dass es wirklich funktioniert . Erstens konnte er das Problem durch die Verwendung der Identität vereinfachen

Wo ist die Lautstärke? Kombination dieser Identität mit der einfachen Identität

Ausbeuten,

Vertrag beide Seiten mit gibt

Die verschmierte euklidische Hamilton-Beschränkungsfunktion kann dann geschrieben werden ( ist die Lapse-Funktion).

Das und kann zu genau definierten Operatoren in der Schleifendarstellung heraufgestuft werden, und die Poisson-Klammer wird bei der Quantisierung durch einen Kommutator ersetzt. Dies kümmert sich um die erste Amtszeit. Es stellt sich heraus, dass ein ähnlicher Trick verwendet werden kann, um den zweiten Term zu behandeln. Man stellt die Menge vor

und stellt fest, dass

.

so,

.

Der Grund, warum es zum Zeitpunkt der Quantisierung einfacher ist, mit der Menge zu arbeiten, ist, dass sie als geschrieben werden kann

wo wir verwendet haben, dass die integrierte verdichtete Spur der äußeren Krümmung die "zeitliche Ableitung des Volumens" ist.

In der langen Geschichte der kanonischen Quantengravitation war es ein gewaltiges Problem, die Hamiltonsche Beschränkung als Quantenoperator ( Wheeler-DeWitt-Gleichung ) auf mathematisch strenge Weise zu formulieren . In der Schleifendarstellung wurde 1996 schließlich eine mathematisch gut definierte Hamilton-Bedingung formuliert. [15] Weitere Einzelheiten zu ihrer Konstruktion überlassen wir dem Artikel Hamilton-Bedingung von LQG . Dies sind zusammen mit den Quantenversionen des Gaußschen Gesetzes und den in der Schleifendarstellung geschriebenen räumlichen Diffeomorphismusbeschränkungen die zentralen Gleichungen von LQG (moderne kanonische Quanten-Allgemeine Relativitätstheorie).

Das Hauptziel der technischen Seite von LQG besteht darin, die Zustände zu finden, die durch diese Einschränkungen (die physikalischen Zustände) vernichtet werden, und das entsprechende physikalische innere Produkt und die beobachtbaren Größen zu finden.

Ein sehr wichtiger Aspekt des Hamilton-Operators ist, dass er nur an Eckpunkten wirkt (eine Folge davon ist, dass der Hamilton-Operator von Thiemann wie der Operator von Ashtekar nicht schneidende Schleifen vernichtet, außer dass er jetzt nicht nur formal ist und eine strenge mathematische Bedeutung hat). Genauer gesagt ist seine Wirkung an mindestens Eckpunkten der Valenz drei und größer ungleich Null und führt zu einer linearen Kombination neuer Spin-Netzwerke, bei denen der ursprüngliche Graph durch Hinzufügen von Linien an jedem Scheitelpunkt zusammen und durch Ändern der Beschriftungen modifiziert wurde der benachbarten Glieder des Scheitelpunktes.

Implementierung und Lösung der Quantenbeschränkungen [ Bearbeiten ]

Wir lösen zumindest annähernd alle Quantenbeschränkungsgleichungen und für das physikalische innere Produkt physikalische Vorhersagen.

Bevor wir zu den Einschränkungen von LQG übergehen, wollen wir bestimmte Fälle betrachten. Wir beginnen mit einem kinematischen Hilbert-Raum , der mit einem inneren Produkt ausgestattet ist - dem kinematischen inneren Produkt .

i) Nehmen wir an, wir haben Einschränkungen, deren Null-Eigenwerte in ihrem diskreten Spektrum liegen . Lösungen der ersten Bedingung entsprechen einem Unterraum des kinematischen Hilbert-Raums . Es wird ein Projektionsoperator sein Mapping auf . Die kinematische innere Produktstruktur kann leicht verwendet werden, um die innere Produktstruktur nach dem Lösen dieser ersten Einschränkung bereitzustellen; Das neue innere Produkt ist einfach

Sie basieren auf demselben inneren Produkt und sind in Bezug darauf normalisierbare Zustände.

ii) Der Nullpunkt ist nicht im Punktspektrum aller enthalten , es gibt dann keine nicht triviale Lösung für das System der Quantenbeschränkungsgleichungen für alle .

Zum Beispiel der Null-Eigenwert des Operators

on liegt im kontinuierlichen Spektrum, aber der formale "Eigenzustand" ist im kinematischen inneren Produkt nicht normalisierbar,

und gehört damit nicht zum kinematischen Hilbert-Raum . In diesen Fällen nehmen wir eine dichte Teilmenge von (intuitiv bedeutet dies, dass entweder jeder Punkt in entweder in oder willkürlich nahe an einem Punkt in liegt ) mit sehr guten Konvergenzeigenschaften und betrachten seinen dualen Raum (intuitiv diese Kartenelemente von auf endliche komplexe Zahlen in a linear), dann (als enthält Verteilungsfunktionen). Der Einschränkungsoperator wird dann in diesem größeren dualen Raum, der Verteilungsfunktionen enthält, unter der Zusatzaktion auf den Operator implementiert. Auf diesem größeren Raum sucht man nach Lösungen. Dies hat den Preis, dass die Lösungen ein neues inneres Hilbert-Raumprodukt erhalten müssen, für das sie normalisierbar sind (siehe Artikel über manipulierten Hilbert-Raum ). In diesem Fall haben wir einen verallgemeinerten Projektionsoperator für den neuen Zustandsraum. Wir können die obige Formel nicht für das neue innere Produkt verwenden, da es divergiert. Stattdessen wird das neue innere Produkt durch die einfache Modifikation des obigen gegeben.

Der verallgemeinerte Projektor wird als Rigging Map bezeichnet.

Implementierung und Lösung der Quantenbeschränkungen von LQG.

Gehen wir zu LQG über. Zusätzliche Komplikationen ergeben sich daraus, dass man keinen Operator für die quantenräumliche Diffeomorphismusbedingung als infinitesimalen Generator für endliche Diffeomorphismustransformationen definieren kann und die Einschränkungsalgebra aufgrund der Klammer zwischen zwei Hamiltonschen Einschränkungen keine Lie-Algebra ist .

Implementierung und Lösung der Gauß-Einschränkung:

Man muss die Gauß-Beschränkung nicht wirklich auf einen Operator übertragen, da wir direkt mit Gauß-Eichinvarianten-Funktionen arbeiten können (das heißt, man löst die Beschränkung klassisch und quantisiert nur den Phasenraum, der in Bezug auf die Gauß-Beschränkung reduziert ist). Das Gaußsche Gesetz wird durch die Verwendung von Spin-Netzwerkzuständen gelöst. Sie bilden eine Grundlage für den kinematischen Hilbert-Raum .

Implementierung der quantenräumlichen Diffeomorphismus-Beschränkung:

Es stellt sich heraus, dass man keinen Operator für die quantenräumliche Diffeomorphismusbeschränkung als den infinitesimalen Generator endlicher Diffeomorphismustransformationen definieren kann, der auf dargestellt wird . Die Darstellung endlicher Diffeomorphismen ist eine Familie von einheitlichen Operatoren, die auf einen Spin-Netzwerk-Zustand durch wirken

für jeden räumlichen Diffeomorphismus auf . Um zu verstehen , warum man nicht einen Operator für die Quanten räumlichen Diffeomorphismus Constraint definieren überlegen , was eine 1-Parameter aufgerufen wird Untergruppe in der Gruppe der räumlichen Diffeomorphismen wird dies dann als 1-Parameter einheitliche Gruppe , dargestellt auf . Ist jedoch nicht schwach stetig, da der Unterraum gehört und der Unterraum dazu gehört, sind orthogonal zueinander, egal wie klein der Parameter ist. So hat man immer

sogar im Limit, wenn es auf Null geht. Daher existiert der infinitesimale Generator von nicht.

Lösung der räumlichen Diffeomorphismusbeschränkung.

Die räumliche Diffeomorphismusbeschränkung wurde gelöst. Das induzierte innere Produkt auf (wir verfolgen die Details nicht) hat eine sehr einfache Beschreibung in Bezug auf Spin-Netzwerkzustände; bei zwei Spin-Netzwerken und mit zugehörigen Spin-Netzwerkzuständen und ist das innere Produkt 1, wenn und durch einen räumlichen Diffeomorphismus miteinander verbunden sind, und ansonsten Null.

Wir haben eine Beschreibung der implementierten und vollständigen Lösung der kinematischen Einschränkungen, der Gauß- und der räumlichen Diffeomorphismus-Einschränkungen bereitgestellt, die für jede hintergrundunabhängige Eichfeldtheorie gleich sind. Das Merkmal, das solche unterschiedlichen Theorien unterscheidet, ist die Hamiltonsche Beschränkung, die die einzige ist, die vom Lagrange der klassischen Theorie abhängt.

Problem, das sich aus der Hamiltonschen Beschränkung ergibt.

Details der Implementierung der Quanten-Hamilton-Beschränkung und -Lösungen werden in einem anderen Artikel der Hamilton-Beschränkung von LQG behandelt . In diesem Artikel stellen wir jedoch ein Approximationsschema für die formale Lösung des Hamiltonschen Constraint-Operators vor, das im folgenden Abschnitt über Spinfoams angegeben ist. Hier erwähnen wir nur Probleme, die mit der Hamilton-Beschränkung auftreten.

Die Hamilton-Bedingung bildet invariante Zustände des Diffeomorphismus auf invariante Zustände des Nicht-Diffeomorphismus ab, da der Hilbert-Raum des Diffeomorphismus nicht erhalten bleibt . Dies ist eine unvermeidbare Folge der Operatoralgebra, insbesondere des Kommutators:

wie man sehen kann, wenn man dies anwendet ,

und verwenden , um zu erhalten

und so ist nicht in .

Dies bedeutet, dass man nicht nur die räumliche Diffeomorphismus-Beschränkung und dann die Hamilton-Beschränkung lösen kann. Dieses Problem kann durch die Einführung der Master-Einschränkung mit ihrer trivialen Operatoralgebra umgangen werden, aus der man dann prinzipiell das physikalische innere Produkt konstruieren kann .

Spin Foams [ Bearbeiten ]

In der Schleifenquantengravitation (LQG) repräsentiert ein Spin-Netzwerk einen "Quantenzustand" des Gravitationsfeldes auf einer dreidimensionalen Hyperfläche. Die Menge aller möglichen Spin-Netzwerke (oder genauer "S-Knoten" - dh Äquivalenzklassen von Spin-Netzwerken unter Diffeomorphismen) ist zählbar; es bildet eine Basis des LQG-Hilbert-Raums.

In der Physik ist ein Spinschaum eine topologische Struktur aus zweidimensionalen Flächen, die eine der Konfigurationen darstellt, die summiert werden müssen, um eine Feynman-Pfadintegralbeschreibung (funktionale Integration) der Quantengravitation zu erhalten. Es ist eng mit der Quantengravitation der Schleife verbunden.

Spin-Schaum, abgeleitet vom Hamilton-Constraint-Operator [ Bearbeiten ]

Die Hamiltonsche Beschränkung erzeugt eine "Zeit" -Evolution. Das Lösen der Hamiltonschen Beschränkung sollte uns sagen, wie sich Quantenzustände in "Zeit" von einem anfänglichen Spin-Netzwerkzustand zu einem endgültigen Spin-Netzwerkzustand entwickeln. Ein Ansatz zur Lösung der Hamiltonschen Beschränkung beginnt mit der sogenannten Dirac-Delta-Funktion . Dies ist eine ziemlich singuläre Funktion der bezeichneten reellen Linie, die überall Null ist, außer bei , deren Integral jedoch endlich und ungleich Null ist. Es kann als Fourier-Integral dargestellt werden,

.

Man kann die Idee der Delta-Funktion verwenden, um die Bedingung aufzuerlegen, dass die Hamilton-Beschränkung verschwinden sollte.

ist nur dann ungleich Null, wenn für alle in . Auf diese Weise können wir Lösungen für die Hamilton-Beschränkung "projizieren". In Analogie zum oben angegebenen Fourier-Integral kann dieser (verallgemeinerte) Projektor formal als geschrieben werden

.

Dies ist formal räumlich diffeomorphismusinvariant. Als solches kann es auf der räumlich diffeomorphismusinvarianten Ebene angewendet werden. Damit ist das physische innere Produkt formal gegeben durch

Wo sind das anfängliche Spin-Netzwerk und wo ist das endgültige Spin-Netzwerk.

Das Exponential kann erweitert werden

und jedes Mal, wenn ein Hamilton-Operator handelt, fügt er eine neue Kante am Scheitelpunkt hinzu. Die Summierung über verschiedene Sequenzen von Aktionen von kann als Summation über verschiedene Historien von 'Interaktionsscheitelpunkten' in der 'Zeit'-Evolution visualisiert werden, wobei das anfängliche Spin-Netzwerk an das endgültige Spin-Netzwerk gesendet wird. Dies führt dann natürlich zu dem Zwei-Komplex (einem kombinatorischen Satz von Flächen, die sich entlang von Kanten verbinden, die sich wiederum auf Eckpunkten verbinden), die der Beschreibung des Spin-Schaums zugrunde liegen. Wir entwickeln ein anfängliches Spin-Netzwerk vorwärts, das eine Oberfläche ausfegt. Die Aktion des Hamilton-Constraint-Operators besteht darin, eine neue planare Oberfläche zu erzeugen, die am Scheitelpunkt beginnt. Wir können die Wirkung der Hamiltonschen Beschränkung auf den Scheitelpunkt eines Spin-Netzwerkzustands verwenden, um jeder "Interaktion" eine Amplitude zuzuordnen.(in Analogie zuFeynman-Diagramme ). Siehe Abbildung unten. Dies eröffnet die Möglichkeit, kanonisches LQG direkt mit einer Pfadintegralbeschreibung zu verknüpfen. So wie ein Spin-Netzwerk den Quantenraum beschreibt, beschreibt jede Konfiguration, die zu diesen Pfadintegralen oder Summen über die Geschichte beiträgt, die Quantenraumzeit. Aufgrund ihrer Ähnlichkeit mit Seifenschäumen und der Art, wie sie mit John Baez bezeichnet werden, gaben diese "Quantenraumzeiten" den Namen "Spin Foams".

Die Wirkung der Hamiltonschen Beschränkung wird in die Pfadintegral- oder sogenannte Spin-Foam- Beschreibung übersetzt. Ein einzelner Knoten teilt sich in drei Knoten auf und erzeugt einen Spin-Foam-Scheitelpunkt. ist der Wert von am Scheitelpunkt und sind die Matrixelemente der Hamilton-Bedingung .

Es gibt jedoch schwerwiegende Schwierigkeiten bei diesem speziellen Ansatz, zum Beispiel ist der Hamilton-Operator nicht selbstadjunkt, tatsächlich ist er nicht einmal ein normaler Operator (dh der Operator pendelt nicht mit seinem Adjunkt), und daher kann der Spektralsatz nicht verwendet werden Definieren Sie das Exponential im Allgemeinen. Das schwerwiegendste Problem ist, dass die nicht gegenseitig pendeln. Es kann dann gezeigt werden, dass die formale Menge nicht einmal einen (verallgemeinerten) Projektor definieren kann. Die Master-Einschränkung (siehe unten) leidet nicht unter diesen Problemen und bietet als solche eine Möglichkeit, die kanonische Theorie mit der Pfadintegralformulierung zu verbinden.

Spin Foams aus der BF-Theorie [ Bearbeiten ]

Es stellt sich heraus, dass es alternative Wege zur Formulierung des Pfadintegrals gibt, jedoch ist ihre Verbindung zum Hamiltonschen Formalismus weniger klar. Eine Möglichkeit besteht darin, mit der BF-Theorie zu beginnen . Dies ist eine einfachere Theorie als die allgemeine Relativitätstheorie, sie hat keine lokalen Freiheitsgrade und hängt als solche nur von topologischen Aspekten der Felder ab. Die BF-Theorie ist eine sogenannte topologische Feldtheorie . Überraschenderweise stellt sich heraus, dass die allgemeine Relativitätstheorie aus der BF-Theorie durch Auferlegen einer Einschränkung erhalten werden kann. [22] Die BF-Theorie beinhaltet ein Feld, und wenn man das Feld als (antisymmetrisches) Produkt zweier Tetraden auswählt

(Tetraden sind wie Triaden, aber in vier Raumzeitdimensionen), stellt man die allgemeine Relativitätstheorie wieder her. Die Bedingung, dass das Feld durch das Produkt zweier Tetraden gegeben ist, wird als Einfachheitsbeschränkung bezeichnet. Die Spin-Foam-Dynamik der topologischen Feldtheorie ist gut bekannt. Angesichts der Spin-Schaum-Wechselwirkungsamplituden für diese einfache Theorie versucht man dann, die Einfachheitsbedingungen zu implementieren, um ein Pfadintegral für die allgemeine Relativitätstheorie zu erhalten. Die nicht triviale Aufgabe, ein Spin-Foam-Modell zu konstruieren, reduziert sich dann auf die Frage, wie diese Einfachheitsbeschränkung in der Quantentheorie auferlegt werden sollte. Der erste Versuch war das berühmte Barrett-Crane-Modell . [23]Es wurde jedoch gezeigt, dass dieses Modell problematisch ist. Beispielsweise schien es nicht genügend Freiheitsgrade zu geben, um die korrekte klassische Grenze sicherzustellen. [24] Es wurde argumentiert, dass die Einfachheitsbeschränkung auf Quantenebene zu stark auferlegt wurde und nur im Sinne von Erwartungswerten auferlegt werden sollte, genau wie bei der Lorenz-Eichbedingung im Gupta-Bleuler-Formalismus der Quantenelektrodynamik . Es wurden jetzt neue Modelle vorgeschlagen, die manchmal dadurch motiviert sind, dass die Einfachheitsbedingungen in einem schwächeren Sinne auferlegt werden.

Eine weitere Schwierigkeit besteht darin, dass Spinschäume bei einer Diskretisierung der Raumzeit definiert werden. Während dies für eine topologische Feldtheorie keine Probleme darstellt, da sie keine lokalen Freiheitsgrade aufweist, stellt sie GR vor Probleme. Dies ist als Problemtriangularisierungsabhängigkeit bekannt.

Moderne Formulierung von Spinschäumen [ edit ]

So wie das Auferlegen der klassischen Einfachheitsbeschränkung die allgemeine Relativitätstheorie aus der BF-Theorie wiederherstellt, erwartet man, dass eine geeignete Quantenvereinfachungsbeschränkung die Quantengravitation aus der Quanten-BF-Theorie wiederherstellt.

In Bezug auf dieses Problem haben Engle, Pereira und Rovelli, [25] Freidel und Krasnov [26] sowie Livine und Speziale [27] große Fortschritte bei der Definition der Wechselwirkungsamplituden von Spinschaum mit viel besserem Verhalten erzielt .

Es wurde versucht, Kontakt zwischen EPRL-FK-Spinschaum und der kanonischen Formulierung von LQG herzustellen. [28]

Spin-Schaum vom Master-Constraint-Operator [ Bearbeiten ]

Siehe unten.

Die semiklassische Grenze [ Bearbeiten ]

Die klassische Grenze oder Korrespondenzgrenze ist die Fähigkeit einer physikalischen Theorie , die klassische Mechanik zu approximieren oder "wiederherzustellen", wenn sie über spezielle Werte ihrer Parameter betrachtet wird. [29] Die klassische Grenze wird bei physikalischen Theorien verwendet, die nicht klassisches Verhalten vorhersagen. In der Physik besagt das Korrespondenzprinzip, dass das Verhalten von Systemen, die durch die Theorie der Quantenmechanik (oder durch die alte Quantentheorie ) beschrieben werden, die klassische Physik an der Grenze großer Quantenzahlen reproduziert . Mit anderen Worten, es heißt, dass für große Umlaufbahnen und für große EnergienQuantenberechnungen müssen mit klassischen Berechnungen übereinstimmen. [30]

Das Prinzip wurde 1920 von Niels Bohr formuliert [31], obwohl er es bereits 1913 bei der Entwicklung seines Atommodells verwendet hatte . [32]

Es gibt zwei grundlegende Anforderungen, um die semiklassische Grenze einer Quantentheorie festzulegen:

  1. Reproduktion der Poisson-Klammern (der Diffeomorphismus-Einschränkungen bei allgemeiner Relativitätstheorie). Dies ist äußerst wichtig, da, wie oben erwähnt, die zwischen den (verschmierten) Randbedingungen selbst gebildete Poisson-Klammeralgebra die klassische Theorie vollständig bestimmt. Dies ist analog zur Festlegung des Satzes von Ehrenfest .
  2. die Spezifikation eines vollständigen Satzes klassischer Observablen, deren entsprechende Operatoren, wenn sie von geeigneten semiklassischen Zuständen beeinflusst werden, dieselben klassischen Variablen mit kleinen Quantenkorrekturen reproduzieren (ein subtiler Punkt ist, dass Zustände, die für eine Klasse von Observablen semiklassisch sind, möglicherweise nicht semiklassisch sind eine andere Klasse von Observablen [33] ).

Dies kann beispielsweise in der gewöhnlichen Quantenmechanik für ein Teilchen leicht durchgeführt werden, aber in der allgemeinen Relativitätstheorie wird dies zu einem höchst nicht trivialen Problem.

Richtigkeit der semiklassischen Grenze von LQGs [ Bearbeiten ]

Jede Kandidatentheorie der Quantengravitation muss in der Lage sein, Einsteins allgemeine Relativitätstheorie als klassische Grenze einer Quantentheorie zu reproduzieren . Dies ist aufgrund eines Merkmals der Quantenfeldtheorien, das darin besteht, dass sie unterschiedliche Sektoren haben, nicht garantiert. Diese sind analog zu den verschiedenen Phasen, die in der thermodynamischen Grenze statistischer Systeme auftreten. So wie verschiedene Phasen physikalisch verschieden sind, sind auch verschiedene Sektoren einer Quantenfeldtheorie physikalisch verschieden. Es kann sich herausstellen, dass LQG zu einem unphysikalischen Sektor gehört - einem Sektor, in dem die allgemeine Relativitätstheorie in der semiklassischen Grenze nicht wiederhergestellt wird (tatsächlich gibt es möglicherweise überhaupt keinen physischen Sektor).

Darüber hinaus muss der physikalische Hilbert-Raum genügend semiklassische Zustände enthalten, um zu gewährleisten, dass die erhaltene Quantentheorie zur klassischen Theorie zurückkehren kann, wenn . Um dies zu gewährleisten, muss man um jeden Preis Quantenanomalien vermeiden , denn wenn wir dies nicht tun, wird es Einschränkungen für den physikalischen Hilbert-Raum geben, die kein Gegenstück zur klassischen Theorie haben, was impliziert, dass die Quantentheorie weniger Freiheitsgrade als die klassische hat Theorie.

Theoreme, die die Eindeutigkeit der Schleifendarstellung nach Ashtekar et al. (dh eine bestimmte konkrete Realisierung eines Hilbert-Raums und zugehörige Operatoren, die die korrekte Schleifenalgebra reproduzieren - die Realisierung, die jeder verwendete), wurden von zwei Gruppen gegeben (Lewandowski, Okolow, Sahlmann und Thiemann; [34] und Christian Fleischhack [35]). ). Bevor dieses Ergebnis ermittelt wurde, war nicht bekannt, ob es andere Beispiele für Hilbert-Räume mit Operatoren geben könnte, die dieselbe Schleifenalgebra aufrufen - andere Realisierungen, die nicht der bisher verwendeten entsprechen. Diese Eindeutigkeitssätze implizieren, dass keine anderen existieren. Wenn LQG also nicht die richtige semiklassische Grenze hat, würden die Sätze das Ende der Schleifendarstellung der Quantengravitation insgesamt bedeuten.

Schwierigkeiten und Fortschritte bei der Überprüfung der semiklassischen Grenze [ Bearbeiten ]

Es gibt eine Reihe von Schwierigkeiten beim Versuch, LQG zu etablieren, was Einsteins Theorie der allgemeinen Relativitätstheorie in der semiklassischen Grenze ergibt:

  1. Es gibt keinen Operator, der infinitesimalen räumlichen Diffeomorphismen entspricht (es ist nicht überraschend, dass die Theorie keinen Generator für infinitesimale räumliche 'Übersetzungen' hat, da sie voraussagt, dass räumliche Geometrie diskreter Natur ist, verglichen mit der Situation in kondensierter Materie). Stattdessen muss es durch endliche räumliche Diffeomorphismen angenähert werden, sodass die Poisson-Klammerstruktur der klassischen Theorie nicht genau reproduziert wird. Dieses Problem kann mit der Einführung der sogenannten Master-Einschränkung (siehe unten) umgangen werden [36].
  2. Es besteht das Problem, die diskrete kombinatorische Natur der Quantenzustände mit der kontinuierlichen Natur der Felder der klassischen Theorie in Einklang zu bringen.
  3. Es gibt ernsthafte Schwierigkeiten, die sich aus der Struktur der Poisson-Klammern ergeben, die den räumlichen Diffeomorphismus und die Hamiltonschen Beschränkungen betreffen. Insbesondere schließt sich die Algebra der (verschmierten) Hamiltonschen Bedingungen nicht: Sie ist proportional zu einer Summe über infinitesimale räumliche Diffeomorphismen (die, wie wir gerade bemerkt haben, in der Quantentheorie nicht existieren), wobei die Proportionalitätskoeffizienten keine Konstanten sind aber haben nicht triviale Phasenraumabhängigkeit - als solche bildet es keine Lie-Algebra . Die Situation wird jedoch durch die Einführung der Master-Einschränkung erheblich verbessert. [36]
  4. Die bisher entwickelte semiklassische Maschinerie ist nur für nicht graphverändernde Operatoren geeignet. Die Hamiltonsche Beschränkung von Thiemann ist jedoch ein graphverändernder Operator - der neue Graph, den er erzeugt, hat Freiheitsgrade, von denen der kohärente Zustand nicht abhängt, und somit ihr Quantum Schwankungen werden nicht unterdrückt. Bisher gibt es auch die Einschränkung, dass diese kohärenten Zustände nur auf der kinematischen Ebene definiert sind und man sie nun auf die Ebene von und heben muss. Es kann gezeigt werden, dass die Hamiltonsche Beschränkung von Thiemann grafisch geändert werden muss, um Problem 3 in gewissem Sinne zu lösen. Die Master-Constraint-Algebra ist jedoch trivial, und daher kann die Anforderung, dass sie sich grafisch ändert, aufgehoben werden, und tatsächlich wurden nicht-graph-ändernde Master-Constraint-Operatoren definiert. Soweit derzeit bekannt, ist dieses Problem derzeit noch unerreichbar.
  5. Die Formulierung von Observablen für die klassische allgemeine Relativitätstheorie ist aufgrund ihrer nichtlinearen Natur und der Invarianz des Raum-Zeit-Diffeomorphismus ein gewaltiges Problem. Tatsächlich wurde erst kürzlich ein systematisches Approximationsschema zur Berechnung von Observablen entwickelt. [37] [38]

Schwierigkeiten beim Versuch, die semiklassische Grenze der Theorie zu untersuchen, sollten nicht mit der falschen semiklassischen Grenze verwechselt werden.

In Bezug auf das obige Problem Nr. 2 kann man sogenannte Webzustände in Betracht ziehen . Gewöhnliche Messungen geometrischer Größen sind makroskopisch und die Plancksche Diskretion wird geglättet. Der Stoff eines T-Shirts ist analog: In einiger Entfernung ist es eine glatt gekrümmte zweidimensionale Oberfläche, aber bei näherer Betrachtung sehen wir, dass es tatsächlich aus Tausenden von eindimensionalen verknüpften Fäden besteht. Das in LQG angegebene Raumbild ist ähnlich. Stellen Sie sich ein sehr großes Spin-Netzwerk vor, das aus einer sehr großen Anzahl von Knoten und Verbindungen im Planck-Maßstab besteht . Im makroskopischen Maßstab untersucht, erscheint es als dreidimensionale kontinuierliche metrische Geometrie.

Um Kontakt mit der bekannten Niedrigenergiephysik aufzunehmen, müssen Approximationsschemata sowohl für das physikalische innere Produkt als auch für Dirac-Observable entwickelt werden. Die intensiv untersuchten Spin-Foam-Modelle können als Wege zu Approximationsschemata für das physikalische innere Produkt angesehen werden.

Markopoulou et al. übernahm die Idee von geräuschlosen Subsystemen , um das Problem der niedrigen Energiegrenze in hintergrundunabhängigen Quantengravitationstheorien zu lösen [39] [40]. Die Idee hat sogar zu der faszinierenden Möglichkeit geführt, dass Materie des Standardmodells mit emergenten Graden identifiziert wird der Freiheit von einigen Versionen von LQG (siehe Abschnitt unten: LQG und verwandte Forschungsprogramme ).

Wie Wightman in den 1950er Jahren betonte, funktioniert der Punkt in Minkowski-QFTs

,

Bestimmen Sie die Theorie vollständig. Insbesondere kann man aus diesen Größen die Streuamplituden berechnen. Wie weiter unten im Abschnitt über die Hintergrundunabhängigen Streuamplituden erläutert , beziehen sich die Punktfunktionen im Hintergrundunabhängigen Kontext auf einen Zustand und in der Schwerkraft kann dieser Zustand natürlich Informationen über eine bestimmte Geometrie codieren, die dann in den Ausdrücken dieser Größen erscheinen können . In führender Reihenfolge wurde gezeigt, dass LQG-Berechnungen in angemessenem Sinne mit den Punktfunktionen übereinstimmen, die in der effektiven allgemeinen Quantenrelativitätstheorie mit niedriger Energie berechnet wurden.

Verbesserte Dynamik und die Master-Einschränkung [ Bearbeiten ]

Die Master-Einschränkung [ Bearbeiten ]

Thiemanns Hauptbedingung sollte nicht mit der Hauptgleichung verwechselt werden , die mit zufälligen Prozessen zu tun hat. Das Master-Constraint-Programm für die Schleifenquantengravitation (LQG) wurde als klassisch äquivalenter Weg vorgeschlagen, um die unendliche Anzahl von Hamilton-Constraint-Gleichungen durchzusetzen

( als kontinuierlicher Index) in Bezug auf eine einzelne Master-Einschränkung,

.

Dies beinhaltet das Quadrat der fraglichen Einschränkungen. Beachten Sie, dass es unendlich viele waren, während die Master-Einschränkung nur eine ist. Es ist klar, dass wenn es verschwindet, auch die unendlich vielen . Wenn umgekehrt alle verschwinden , sind sie gleichwertig. Die Hauptbedingung beinhaltet eine angemessene Mittelung über den gesamten Raum und ist daher unter räumlichen Diffeomorphismen unveränderlich (sie ist unter räumlichen "Verschiebungen" unveränderlich, da es sich um eine Summierung über alle derartigen räumlichen "Verschiebungen" einer Größe handelt, die sich als Skalar transformiert). Daher ist seine Poisson-Klammer mit der (verschmierten) räumlichen Diffeomorphismus-Beschränkung einfach:

.

(es ist auch unveränderlich). Da offensichtlich jede Menge Poisson mit sich selbst pendelt und die Hauptbedingung eine einzelne Einschränkung ist, erfüllt sie diese auch

.

Wir haben auch die übliche Algebra zwischen räumlichen Diffeomorphismen. Dies stellt eine dramatische Vereinfachung der Poisson-Klammerstruktur dar und weckt neue Hoffnungen beim Verständnis der Dynamik und der Festlegung der semiklassischen Grenze. [41]

Ein anfänglicher Einwand gegen die Verwendung der Master-Einschränkung war, dass sie auf den ersten Blick keine Informationen über die Observablen zu codieren schien; Da die Master-Einschränkung in der Einschränkung quadratisch ist, ist das Ergebnis proportional zur Einschränkung, wenn man ihre Poisson-Klammer mit einer beliebigen Größe berechnet. Daher verschwindet sie immer, wenn die Einschränkungen auferlegt werden, und wählt als solche bestimmte Phasenraumfunktionen nicht aus. Es wurde jedoch festgestellt, dass der Zustand

ist gleichbedeutend mit einem beobachtbaren Dirac. Die Master-Einschränkung erfasst also Informationen zu den Observablen. Aufgrund seiner Bedeutung wird dies als Hauptgleichung bezeichnet. [41]

Dass die Master-Constraint-Poisson-Algebra eine ehrliche Lie-Algebra ist, eröffnet die Möglichkeit, eine bestimmte Methode, die als Gruppenmittelung bezeichnet wird, zu verwenden, um Lösungen der unendlichen Anzahl von Hamilton-Constraints, eines physikalischen inneren Produkts darauf und Dirac-Observablen über das, was ist , zu konstruieren bekannt als verfeinerte algebraische Quantisierung RAQ. [42]

Die Quantenmaster-Einschränkung [ Bearbeiten ]

Definieren Sie die Quantenmaster-Einschränkung (abgesehen von Regularisierungsproblemen) als

.

Offensichtlich,

für alle impliziert . Umgekehrt, wenn dann

impliziert

.

Zuerst müssen wir die Matrixelemente des potenziellen Operators berechnen, dh wir berechnen die quadratische Form . Es stellt sich heraus, dass eine sich ändernde, den Diffeomorphismus invariante quadratische Form nicht im kinematischen Hilbert-Raum existieren kann und auf definiert werden muss . Da der Master - constraint Operator ist dicht definiert auf , dann ist ein positiver und symmetrischer Operator in . Daher ist die quadratische Form zugeordnet ist , verschließbar . Der Abschluss von ist die quadratische Form eines einzigartigen selbstadjunkten Operators , der als Friedrichs-Erweiterung bezeichnet wird von . Wir relabel wie der Einfachheit halber.

Es ist zu beachten, dass das Vorhandensein eines inneren Produkts, nämlich Gleichung 4, bedeutet, dass es keine überflüssigen Lösungen gibt, dh es gibt keine solchen

aber für welche .

Es ist auch möglich, eine quadratische Form für die sogenannte erweiterte Master-Einschränkung (siehe unten) zu erstellen, bei der auch das gewichtete Integral des Quadrats der räumlichen Diffeomorphismus-Einschränkung berücksichtigt wird (dies ist möglich, da sich der Graph nicht ändert).

Das Spektrum der Master-Einschränkung enthält möglicherweise keine Null aufgrund von Normal- oder Faktorordnungseffekten, die endlich sind, aber der Natur der unendlichen Vakuumenergien hintergrundabhängiger Quantenfeldtheorien ähneln. In diesem Fall dreht sich um sie zu ersetzen physikalisch korrekt zu sein , aus mit der Maßgabe , dass der „normale Ordnung Konstante“ verschwindet im klassischen Grenzfall , das heißt,

das ist also eine gültige Quantisierung von .

Testen der Master-Einschränkung [ Bearbeiten ]

Die Einschränkungen in ihrer primitiven Form sind eher singulär. Dies war der Grund, sie über Testfunktionen zu integrieren, um verschmierte Einschränkungen zu erhalten. Es scheint jedoch, dass die oben angegebene Gleichung für die Hauptbedingung noch singulärer ist und das Produkt zweier primitiver Bedingungen beinhaltet (obwohl über den Raum integriert). Das Quadrieren der Einschränkung ist gefährlich, da dies zu einer Verschlechterung des UV-Verhaltens des entsprechenden Bedieners führen kann. Daher muss das Master-Einschränkungsprogramm mit der gebotenen Sorgfalt angegangen werden.

Dabei wurde das Master-Constraint-Programm in einer Reihe von Modellsystemen mit nicht trivialen Constraint-Algebren, freien und interagierenden Feldtheorien zufriedenstellend getestet. [43] [44] [45] [46] [47] Die Hauptbedingung für LQG wurde als echter positiver selbstadjunkter Operator festgelegt, und der physische Hilbert-Raum von LQG erwies sich als nicht leer, [48] offensichtlich Konsistenztest LQG muss bestanden werden, um eine tragfähige Theorie der allgemeinen Quantenrelativität zu sein.

Anwendungen der Master-Einschränkung [ Bearbeiten ]

Die Hauptbeschränkung wurde bei Versuchen verwendet, das physikalische innere Produkt zu approximieren und strengere Pfadintegrale zu definieren. [49] [50] [51] [52]

Der Ansatz der konsistenten Diskretisierung von LQG [53] [54] ist eine Anwendung des Master-Constraint-Programms zur Konstruktion des physikalischen Hilbert-Raums der kanonischen Theorie.

Schaum aus der Master-Einschränkung schleudern [ Bearbeiten ]

Es stellt sich heraus, dass die Master-Einschränkung leicht verallgemeinert werden kann, um die anderen Einschränkungen zu berücksichtigen. Es wird dann als erweiterte Master-Einschränkung bezeichnet, die als bezeichnet wird . Wir können die erweiterte Master-Einschränkung, die sowohl die Hamilton-Einschränkung als auch die räumliche Diffeomorphismus-Einschränkung auferlegt, als einen einzelnen Operator definieren.

.

Das Setzen dieser einzelnen Einschränkung auf Null entspricht und für alle in . Diese Einschränkung implementiert gleichzeitig den räumlichen Diffeomorphismus und die Hamiltonsche Einschränkung für den kinematischen Hilbert-Raum. Das physische innere Produkt ist dann definiert als

(as ). Eine Spin-Foam-Darstellung dieses Ausdrucks wird erhalten, indem der -Parameter in diskreten Schritten aufgeteilt und geschrieben wird

Die Beschreibung des Spinschaums folgt dann aus der Anwendung auf ein Spin-Netzwerk, was zu einer linearen Kombination neuer Spin-Netzwerke führt, deren Grafik und Beschriftungen modifiziert wurden. Offensichtlich wird eine Annäherung vorgenommen, indem der Wert von auf eine endliche ganze Zahl abgeschnitten wird. Ein Vorteil der erweiterten Master-Einschränkung besteht darin, dass wir auf kinematischer Ebene arbeiten und bisher nur hier Zugriff auf semiklassische kohärente Zustände haben. Darüber hinaus kann man keine graphverändernden Versionen dieses Hauptbeschränkungsoperators finden, die die einzigen Arten von Operatoren sind, die für diese kohärenten Zustände geeignet sind.

Algebraische Quantengravitation (AQG) [ Bearbeiten ]

Das Master-Constraint-Programm hat sich zu einer vollständig kombinatorischen Behandlung der Schwerkraft entwickelt, die als algebraische Quantengravitation (AQG) bekannt ist. [55]Der nicht graphverändernde Master-Constraint-Operator wird im Rahmen der algebraischen Quantengravitation angepasst. Während AQG von LQG inspiriert ist, unterscheidet es sich drastisch davon, da es in AQG grundsätzlich keine Topologie oder Differentialstruktur gibt - es ist in einem allgemeineren Sinne hintergrundunabhängig und könnte möglicherweise etwas über Topologieänderungen zu sagen haben. In dieser neuen Formulierung der Quantengravitation steuern semiklassische AQG-Zustände immer die Schwankungen aller gegenwärtigen Freiheitsgrade. Dies macht die semiklassische AQG-Analyse der LQG überlegen, und es wurden Fortschritte bei der Festlegung der korrekten semiklassischen Grenze und der Bereitstellung des Kontakts mit der bekannten Niedrigenergiephysik erzielt. [56] [57]

Physikalische Anwendungen von LQG [ Bearbeiten ]

Entropie des Schwarzen Lochs [ Bearbeiten ]

Der Immirzi-Parameter (auch bekannt als Barbero-Immirzi-Parameter) ist ein numerischer Koeffizient, der in der Schleifenquantengravitation auftritt. Es kann reale oder imaginäre Werte annehmen.

Eine künstlerische Darstellung der Verschmelzung zweier Schwarzer Löcher , ein Prozess, bei dem die Gesetze der Thermodynamik eingehalten werden.

Die Thermodynamik des Schwarzen Lochs ist das Untersuchungsgebiet, das versucht, die Gesetze der Thermodynamik mit der Existenz von Ereignishorizonten des Schwarzen Lochs in Einklang zu bringen . Die Vermutung ohne Haare der allgemeinen Relativitätstheorie besagt, dass ein Schwarzes Loch nur durch seine Masse , seine Ladung und seinen Drehimpuls gekennzeichnet ist ; daher hat es keine Entropie . Es scheint also, dass man den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik verletzen kann, indem man ein Objekt mit einer Entropie ungleich Null in ein Schwarzes Loch fallen lässt. [58] Arbeiten von Stephen Hawking und Jacob Bekensteinzeigten, dass man den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik bewahren kann, indem man jedem Schwarzen Loch eine Schwarzlochentropie zuweist

Wo ist die Fläche des Ereignishorizonts des Lochs, ist die Boltzmann-Konstante und ist die Planck-Länge . [59] Die Tatsache, dass die Entropie des Schwarzen Lochs auch die maximale Entropie ist, die durch die Bekenstein-Bindung erhalten werden kann (wobei die Bekenstein-Bindung zur Gleichheit wird), war die Hauptbeobachtung, die zum holographischen Prinzip führte . [58]

Ein Versehen bei der Anwendung des No-Hair-Theorems ist die Annahme, dass die relevanten Freiheitsgrade, die für die Entropie des Schwarzen Lochs verantwortlich sind, klassischer Natur sein müssen; Was wäre, wenn sie stattdessen rein quantenmechanisch wären und eine Entropie ungleich Null hätten? Tatsächlich ist dies das, was in der LQG-Ableitung der Entropie des Schwarzen Lochs realisiert wird und als Folge seiner Hintergrundunabhängigkeit gesehen werden kann - die klassische Raumzeit des Schwarzen Lochs ergibt sich aus der semiklassischen Grenze des Quantenzustands des Gravitationsfeldes, aber Es gibt viele Quantenzustände, die dieselbe semiklassische Grenze haben. Insbesondere in LQG [60]Es ist möglich, den Mikrozuständen eine quantengeometrische Interpretation zuzuordnen: Dies sind die Quantengeometrien des Horizonts, die mit der Fläche, dem Schwarzen Loch und der Topologie des Horizonts (dh sphärisch) übereinstimmen . LQG bietet eine geometrische Erklärung der Endlichkeit der Entropie und der Proportionalität der Horizontfläche. [61] [62] Diese Berechnungen wurden auf rotierende Schwarze Löcher verallgemeinert. [63]

Darstellung von Quantengeometrien des Horizonts. Polymeranregungen in der Masse durchbohren den Horizont und verleihen ihm eine quantisierte Fläche. Eigentlich ist der Horizont flach, außer bei Einstichen, bei denen er einen quantisierten Defizitwinkel oder einen quantisierten Krümmungsbetrag erhält . Diese Defizitwinkel summieren sich zu .

Aus der kovarianten Formulierung der vollständigen Quantentheorie ( Spinfoam ) lässt sich die korrekte Beziehung zwischen Energie und Fläche (1. Hauptsatz ), die Unruh-Temperatur und die Verteilung ableiten, die die Hawking-Entropie ergibt. [64] Die Berechnung verwendet den Begriff des dynamischen Horizonts und wird für nicht-extreme Schwarze Löcher durchgeführt.

Ein neuerer Erfolg der Theorie in dieser Richtung ist die Berechnung der Entropie aller nicht singulären Schwarzen Löcher direkt aus der Theorie und unabhängig vom Immirzi-Parameter . [64] [65] Das Ergebnis ist die erwartete Formel , wobei die Entropie unddas Gebiet des Schwarzen Lochs, das von Bekenstein und Hawking aus heuristischen Gründen abgeleitet wurde. Dies ist die einzige bekannte Ableitung dieser Formel aus einer fundamentalen Theorie für den Fall generischer nicht singulärer Schwarzer Löcher. Ältere Versuche dieser Berechnung hatten Schwierigkeiten. Das Problem war, dass, obwohl die Schleifenquantengravitation voraussagte, dass die Entropie eines Schwarzen Lochs proportional zur Fläche des Ereignishorizonts ist, das Ergebnis von einem entscheidenden freien Parameter in der Theorie abhing, dem oben erwähnten Immirzi-Parameter. Es ist jedoch keine Berechnung des Immirzi-Parameters bekannt, so dass er durch die Forderung nach Übereinstimmung mit Bekenstein und Hawkings Berechnung der Entropie des Schwarzen Lochs behoben werden musste .

Hawking-Strahlung in der Schleifenquantengravitation [ Bearbeiten ]

Eine detaillierte Untersuchung der Quantengeometrie eines Horizonts eines Schwarzen Lochs wurde unter Verwendung der Schleifenquantengravitation durchgeführt. [62] Die Schleifenquantisierung reproduziert das Ergebnis der Entropie des Schwarzen Lochs, das ursprünglich von Bekenstein und Hawking entdeckt wurde . Ferner führte dies zur Berechnung von Quantengravitationskorrekturen für die Entropie und Strahlung von Schwarzen Löchern.

Basierend auf den Schwankungen des Horizontbereichs weist ein Quantenschwarzes Loch Abweichungen vom Hawking-Spektrum auf, die beobachtet werden könnten, wenn Röntgenstrahlen von Hawking-Strahlung verdampfender primordialer Schwarzer Löcher beobachtet würden. [66] Die Quanteneffekte konzentrieren sich auf eine Reihe diskreter und ungemischter Frequenzen, die über dem Hawking-Strahlungsspektrum stark ausgeprägt sind. [67]

Planckstern [ Bearbeiten ]

2014 schlugen Carlo Rovelli und Francesca Vidotto vor, dass sich in jedem Schwarzen Loch ein Planck-Stern befindet . [68] Basierend auf LQG besagt die Theorie, dass beim Zusammenbruch von Sternen in Schwarze Löcher die Energiedichte die Planck-Energiedichte erreicht und eine Abstoßungskraft verursacht, die einen Stern erzeugt. Darüber hinaus würde die Existenz eines solchen Sterns das Black-Hole-Firewall- und Black-Hole-Informationsparadoxon auflösen .

Schleifenquantenkosmologie [ Bearbeiten ]

In der populären und technischen Literatur wird ausführlich auf das LQG-bezogene Thema der Schleifenquantenkosmologie verwiesen. LQC wurde hauptsächlich von Martin Bojowald entwickelt und in Scientific American als Loop-Quantenkosmologie populär gemacht, um einen Big Bounce vor dem Urknall vorherzusagen . [69] Die Schleifenquantenkosmologie (LQC) ist ein symmetrieverringertes Modell der klassischen allgemeinen Relativitätstheorie, das mit Methoden quantifiziert wurde, die die der Schleifenquantengravitation (LQG) nachahmen und eine "Quantenbrücke" zwischen kontrahierenden und expandierenden kosmologischen Zweigen vorhersagen.

Erfolge von LQC waren die Auflösung der Urknall-Singularität, die Vorhersage eines Big Bounce und ein natürlicher Mechanismus für die Inflation .

LQC-Modelle haben die gleichen Funktionen wie LQG und sind daher ein nützliches Spielzeugmodell. Die erhaltenen Ergebnisse unterliegen jedoch der üblichen Einschränkung, dass eine verkürzte klassische Theorie, die dann quantisiert wird, aufgrund der künstlichen Unterdrückung von Freiheitsgraden, die große Quantenschwankungen in der vollständigen Theorie aufweisen könnten, möglicherweise nicht das wahre Verhalten der vollständigen Theorie zeigt. Es wurde argumentiert, dass die Vermeidung von Singularität in LQC durch Mechanismen erfolgt, die nur in diesen restriktiven Modellen verfügbar sind, und dass die Vermeidung von Singularität in der vollständigen Theorie immer noch erreicht werden kann, jedoch durch ein subtileres Merkmal von LQG. [70] [71]

Schleifenquantengravitationsphänomenologie [ Bearbeiten ]

Quantengravitationseffekte sind bekanntermaßen schwer zu messen, weil die Planck-Länge so unglaublich klein ist. In jüngster Zeit haben Physiker wie Jack Palmer jedoch begonnen, die Möglichkeit in Betracht zu ziehen, Quantengravitationseffekte hauptsächlich anhand astrophysikalischer Beobachtungen und Gravitationswellendetektoren zu messen. Die Energie dieser Schwankungen in so kleinen Maßstäben verursacht Raumstörungen, die in höheren Maßstäben sichtbar sind.

Hintergrundunabhängige Streuamplituden [ Bearbeiten ]

Die Schleifenquantengravitation wird in einer hintergrundunabhängigen Sprache formuliert. Es wird keine Raumzeit a priori angenommen, sondern sie wird durch die theoretischen Zustände selbst aufgebaut - Streuamplituden werden jedoch aus Punktfunktionen ( Korrelationsfunktion ) abgeleitet, und diese, formuliert in der konventionellen Quantenfeldtheorie, sind Funktionen von Punkten eines Hintergrunds Freizeit. Die Beziehung zwischen dem hintergrundunabhängigen Formalismus und dem konventionellen Formalismus der Quantenfeldtheorie in einer gegebenen Raumzeit ist alles andere als offensichtlich, und es ist alles andere als offensichtlich, wie energiearme Mengen aus der vollständigen hintergrundunabhängigen Theorie gewonnen werden können. Man möchte das ableiten-Punktfunktionen der Theorie aus dem hintergrundunabhängigen Formalismus, um sie mit der standardmäßigen störenden Erweiterung der allgemeinen Quantenrelativität zu vergleichen und daher zu überprüfen, ob die Quantengravitation der Schleife die korrekte Niedrigenergiegrenze ergibt.

Eine Strategie zur Lösung dieses Problems wurde vorgeschlagen. [72] Die Idee ist, die Grenzamplitude zu untersuchen, nämlich ein Pfadintegral über einen endlichen Raum-Zeit-Bereich, gesehen als Funktion des Grenzwerts des Feldes. [73] [74] In der konventionellen Quantenfeldtheorie ist diese Grenzamplitude gut definiert [75] [76] und kodiert die physikalischen Informationen der Theorie; Dies geschieht auch in der Quantengravitation, jedoch vollständig hintergrundunabhängig. [77] Eine allgemein kovariante Definition von -punktfunktionen kann dann auf der Idee basieren, dass der Abstand zwischen physikalischen Punkten - Argumente derDie Punktfunktion wird durch den Zustand des Gravitationsfeldes an der Grenze des betrachteten Raumzeitbereichs bestimmt.

Bei der Berechnung der hintergrundunabhängigen Streuamplituden auf diese Weise wurden unter Verwendung von Spinschäumen Fortschritte erzielt. Dies ist eine Möglichkeit, physikalische Informationen aus der Theorie zu extrahieren. Es wurde behauptet, das korrekte Verhalten für Gravitonenstreuungsamplituden reproduziert und die klassische Schwerkraft wiederhergestellt zu haben. "Wir haben Newtons Gesetz ausgehend von einer Welt ohne Raum und ohne Zeit berechnet." - Carlo Rovelli.

Gravitonen, Stringtheorie, Supersymmetrie, zusätzliche Dimensionen in LQG [ Bearbeiten ]

Einige Quantentheorien der Schwerkraft setzen ein Spin-2-Quantenfeld voraus, das quantisiert wird und Gravitonen erzeugt. In der Stringtheorie beginnt man im Allgemeinen mit quantisierten Anregungen auf einem klassisch festen Hintergrund. Diese Theorie wird daher als hintergrundabhängig beschrieben. Teilchen wie Photonen sowie Änderungen der Raumzeitgeometrie (Gravitonen) werden beide als Anregungen auf dem String-Worldsheet beschrieben. Die Hintergrundabhängigkeit der Stringtheorie kann wichtige physikalische Konsequenzen haben, beispielsweise die Bestimmung der Anzahl der Quarkgenerationen. Im Gegensatz dazu ist die Schleifenquantengravitation ebenso wie die allgemeine Relativitätstheorie offensichtlich hintergrundunabhängig, wodurch der in der Stringtheorie erforderliche Hintergrund eliminiert wird. Die Schleifenquantengravitation zielt ebenso wie die Stringtheorie darauf ab, die nicht normalisierbaren Divergenzen von Quantenfeldtheorien zu überwinden.

LQG führt niemals einen Hintergrund und Anregungen ein, die auf diesem Hintergrund leben, daher verwendet LQG keine Gravitonen als Bausteine. Stattdessen erwartet man, dass man eine Art semiklassische Grenze oder schwache Feldgrenze wiederherstellen kann, wo so etwas wie "Gravitonen" wieder auftauchen. Im Gegensatz dazu spielen Gravitonen eine Schlüsselrolle in der Stringtheorie, wo sie zu den ersten (masselosen) Anregungsstufen eines Superstrings gehören.

LQG unterscheidet sich von der Stringtheorie darin, dass es in 3 und 4 Dimensionen und ohne Supersymmetrie oder zusätzliche Kaluza-Klein- Dimensionen formuliert ist , während letztere erfordert, dass beide wahr sind. Bisher gibt es keine experimentellen Beweise, die die Vorhersagen der Stringtheorie zur Supersymmetrie und zu zusätzlichen Kaluza-Klein-Dimensionen bestätigen. In einer Arbeit von 2003 "Ein Dialog über die Quantengravitation" [78] betrachtet Carlo Rovelli die Tatsache, dass LQG in vier Dimensionen und ohne Supersymmetrie formuliert ist, als Stärke der Theorie, da es die sparsamste darstelltErklärung im Einklang mit den aktuellen experimentellen Ergebnissen über die konkurrierende String / M-Theorie. Befürworter der Stringtheorie werden oft darauf hinweisen, dass sie unter anderem nachweislich die etablierten Theorien der allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantenfeldtheorie in den entsprechenden Grenzen reproduziert, um die sich die Schleifenquantengravitation bemüht hat. In diesem Sinne kann die Verbindung der Stringtheorie zur etablierten Physik auf mathematischer Ebene als zuverlässiger und weniger spekulativ angesehen werden. Die Schleifenquantengravitation hat nichts über die Materie (Fermionen) im Universum zu sagen.

Da LQG in 4 Dimensionen (mit und ohne Supersymmetrie) formuliert wurde und die M-Theorie Supersymmetrie und 11 Dimensionen erfordert, war ein direkter Vergleich zwischen beiden nicht möglich. Es ist möglich, den Mainstream-LQG-Formalismus auf höherdimensionale Supergravitation, allgemeine Relativitätstheorie mit Supersymmetrie und zusätzliche Kaluza-Klein-Dimensionen auszudehnen, falls experimentelle Beweise ihre Existenz belegen. Es wäre daher wünschenswert, höherdimensionale Supergravitationsschleifenquantisierungen zur Verfügung zu haben, um diese Ansätze zu vergleichen. Tatsächlich wurde eine Reihe neuerer Veröffentlichungen veröffentlicht, die genau dies versuchen. [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86]In jüngster Zeit haben Thiemann (und Alumni) Fortschritte bei der Berechnung der Entropie des Schwarzen Lochs für die Supergravitation in höheren Dimensionen erzielt. Es wird interessant sein, diese Ergebnisse mit den entsprechenden Super-String-Berechnungen zu vergleichen. [87] [88]

LQG und verwandte Forschungsprogramme [ bearbeiten ]

Mehrere Forschungsgruppen haben versucht, LQG mit anderen Forschungsprogrammen zu kombinieren: Johannes Aastrup, Jesper M. Grimstrup et al. Die Forschung kombiniert nichtkommutative Geometrie mit kanonischer Quantengravitation und Ashtekar-Variablen. [89] Laurent Freidel, Simone Speziale et al., Spinoren und Twistortheorie mit Schleifenquantengravitation, [90] [91] und Lee Smolin et al. mit Verlinde entropischer Schwerkraft und Schleifengravitation. [92] Stephon Alexander, Antonino Marciano und Lee Smolin haben versucht, die Ursprünge der Chiralität schwacher Kräfte anhand von Ashketars Variablen zu erklären , die die Schwerkraft als chiral beschreiben. [93]und LQG mit Yang-Mills - Theorie Feldern [94] in vier Dimensionen. Sundance Bilson-Thompson , Hackett et al. [95] [96] haben versucht, das Standardmodell über LQGs Freiheitsgrade als emergente Eigenschaft einzuführen (indem die Idee von geräuschlosen Subsystemen verwendet wurde , ein nützlicher Begriff, der in einer allgemeineren Situation eingeführt wurde für beschränkte Systeme von Fotini Markopoulou-Kalamara et al. [97] )

Darüber hinaus hat LQG mit philosophischen Vergleiche gezogen kausal dynamische Triangulation [98] und asymptotisch sicher Schwere , [99] und die spinfoam mit Gruppenfeldtheorie und AdS / CFT - Korrespondenz . [100] Smolin und Wen haben vorgeschlagen, LQG mit String-Net-Flüssigkeit , Tensoren und der Quantengraphizität von Smolin und Fotini Markopoulou-Kalamara zu kombinieren . Es gibt den Ansatz der konsequenten Diskretisierung. Außerdem bieten Pullin und Gambini einen Rahmen, um das Pfadintegral zu verbindenund kanonische Ansätze zur Quantengravitation. Sie können dabei helfen, die Darstellungsansätze für Spin-Schaum und kanonische Schleifen in Einklang zu bringen. Neuere Forschungen von Chris Duston und Matilde Marcolli führen die Änderung der Topologie über Topspin-Netzwerke ein. [101]

Probleme und Vergleiche mit alternativen Ansätzen [ Bearbeiten ]

Einige der wichtigsten ungelösten Probleme in der Physik sind theoretischer Natur, was bedeutet, dass bestehende Theorien nicht in der Lage zu sein scheinen, ein bestimmtes beobachtetes Phänomen oder experimentelles Ergebnis zu erklären. Die anderen sind experimentell, was bedeutet, dass es schwierig ist, ein Experiment zu erstellen, um eine vorgeschlagene Theorie zu testen oder ein Phänomen genauer zu untersuchen.

Viele dieser Probleme betreffen LQG, einschließlich:

  • Können Quantenmechanik und allgemeine Relativitätstheorie als vollständig konsistente Theorie (vielleicht als Quantenfeldtheorie) realisiert werden?
  • Ist die Raumzeit grundsätzlich kontinuierlich oder diskret?
  • Würde eine konsistente Theorie eine Kraft beinhalten, die durch ein hypothetisches Graviton vermittelt wird, oder ein Produkt einer diskreten Struktur der Raumzeit selbst sein (wie in der Schleifenquantengravitation)?
  • Gibt es Abweichungen von den Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie in sehr kleinen oder sehr großen Maßstäben oder unter anderen extremen Umständen, die sich aus einer Quantengravitationstheorie ergeben?

Die Theorie der LQG ist eine mögliche Lösung für das Problem der Quantengravitation, ebenso wie die Stringtheorie . Es gibt jedoch erhebliche Unterschiede. Zum Beispiel befasst sich die Stringtheorie auch mit der Vereinigung , dem Verständnis aller bekannten Kräfte und Teilchen als Manifestationen einer einzelnen Einheit, indem zusätzliche Dimensionen und bisher nicht beobachtete zusätzliche Teilchen und Symmetrien postuliert werden. Im Gegensatz dazu basiert LQG nur auf Quantentheorie und allgemeiner Relativitätstheorie und beschränkt sich auf das Verständnis der Quantenaspekte der Gravitationswechselwirkung. Andererseits sind die Konsequenzen von LQG radikal, da sie die Natur von Raum und Zeit grundlegend verändern und ein vorläufiges, aber detailliertes physikalisches und mathematisches Bild der Quantenraumzeit liefern.

Gegenwärtig wurde gezeigt, dass keine semiklassische Grenze zur Wiederherstellung der allgemeinen Relativitätstheorie existiert. Dies bedeutet, dass es nicht bewiesen ist, dass die LQG-Beschreibung der Raumzeit auf der Planck-Skala die richtige Kontinuumsgrenze aufweist (beschrieben durch die allgemeine Relativitätstheorie mit möglichen Quantenkorrekturen). Insbesondere ist die Dynamik der Theorie in der Hamilton-Bedingung codiert , aber es gibt keinen Kandidaten- Hamilton-Operator . [102] Weitere technische Probleme umfassen Auffinden off-shell Schließung der Constraint Algebra und physikalischen Skalarprodukt Raumvektor , Kopplungsfelder von Materie Quantenfeldtheorie , das Schicksal der Renormierung des gravitonin der Störungstheorie , die zu einer ultravioletten Divergenz über 2-Schleifen hinaus führt (siehe Feynman-Diagramm mit einer Schleife im Feynman-Diagramm ). [102]

Zwar gibt es einen Vorschlag zur Beobachtung war nackt Singularitäten , [103] und doppelt spezielle Relativitätstheorie als Teil eines gerufenen Programms Kosmologie Schleifenquanten , gibt es keine experimentelle Beobachtung eine Vorhersage für die Schleifen - Quantengravitation nicht gemacht durch das Standardmodell macht oder allgemeine Relativitätstheorie (ein Problem, das alle aktuellen Theorien der Quantengravitation plagt). Aufgrund des oben erwähnten Fehlens einer semiklassischen Grenze hat LQG die Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie noch nicht einmal reproduziert.

Eine alternative Kritik ist, dass die allgemeine Relativitätstheorie eine effektive Feldtheorie sein kann und die Quantisierung daher die grundlegenden Freiheitsgrade ignoriert.

Der INTEGRAL- Satellit der ESA maß die Polarisation von Photonen unterschiedlicher Wellenlänge und konnte die Granularität des Raums [104] begrenzen, die weniger als 10 um oder 13 Größenordnungen unter der Planck-Skala liegt.

Siehe auch [ Bearbeiten ]

  • Zeitproblem  - Ein konzeptioneller Konflikt zwischen allgemeiner Relativitätstheorie und Quantenmechanik
  • Ashtekar-Variablen
  • C * -Algebra  - Topologisch komplexer Vektorraum
  • Kategorietheorie  - Zweig der Mathematik
  • Doppelte spezielle Relativitätstheorie  - Physikalische Theorie, in der es nicht nur eine maximale Geschwindigkeit (wie bei der speziellen Relativitätstheorie) gibt, sondern auch eine maximale Energieskala und eine minimale Längenskala
  • Gelfand-Naimark-Segal-Bau
  • Gruppenfeldtheorie
  • Heyting Algebra
  • Hamiltonsche Einschränkung
  • Hamiltonsche Einschränkung von LQG
  • Immirzi-Parameter
  • Knoteninvariant
  • Kodama-Staat
  • Lorentz-Invarianz in der Schleifenquantengravitation  - Aspekt der Schleifenquantengravitation
  • Nicht kommutative Geometrie
  • Regge Kalkül
  • S-Knoten
  • Schaum schleudern
  • String-Net-Flüssigkeit
  • Stringtheorie  - Theoretischer Rahmen in der Physik
  • Supersymmetrie  - Symmetrie zwischen Bosonen und Fermionen
  • Topos-Theorie

Notizen [ Bearbeiten ]

Zitate [ bearbeiten ]

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Zitierte Werke [ Bearbeiten ]

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  • Thiemann, Thomas (2006a). "Das Phoenix-Projekt: Master-Constraint-Programm für die Schleifenquantengravitation". Klassische und Quantengravitation . 23 (7): 2211–2247. arXiv : gr-qc / 0305080 . Bibcode : 2006CQGra..23.2211T . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 23/7/002 .
  • Thiemann, Thomas (2006b). "Quantenspindynamik: VIII. Die Hauptbedingung". Klassische und Quantengravitation . 23 (7): 2249–2265. arXiv : gr-qc / 0510011 . Bibcode : 2006CQGra..23.2249T . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 23/7/003 .
  • Thiemann, Thomas (2008). Moderne kanonische Allgemeine Relativitätstheorie . Cambridge Monographien über mathematische Physik. Cambridge University Press . Abschnitt 10.6. ISBN 978-0-521-74187-3.
  • Tipler, P.; Llewellyn, R. (2008). Moderne Physik (5. Aufl.). WH Freeman und Co . S. 160–161. ISBN 978-0-7167-7550-8.

Weiterführende Literatur [ Bearbeiten ]

  • Beliebte Bücher:
    • Rodolfo Gambini und Jorge Pullin , Schleifenquantengravitation für alle , World Scientific , 2020.
    • Carlo Rovelli , " Realität ist nicht so, wie es scheint ", Pinguin, 2016.
    • Martin Bojowald , Einmal vor der Zeit: Eine ganze Geschichte des Universums 2010.
    • Carlo Rovelli , was ist Zeit? Was ist Raum? , Di Renzo Editore, Roma, 2006.
    • Lee Smolin , Drei Wege zur Quantengravitation , 2001
  • Die Zeitschriftartikel:
    • Lee Smolin , "Atome von Raum und Zeit", Scientific American , Januar 2004
    • Martin Bojowald , "Nach dem springenden Universum", Scientific American , Oktober 2008
  • Einfachere Einführungs-, Expository- oder kritische Arbeiten:
    • Abhay Ashtekar , Gravity and the Quantum , E-Print, erhältlich als gr-qc / 0410054 (2004)
    • John C. Baez und Javier P. Muniain, Messfelder, Knoten und Quantengravitation , World Scientific (1994)
    • Carlo Rovelli , Ein Dialog über die Quantengravitation , E-Print erhältlich als hep-th / 0310077 (2003)
    • Carlo Rovelli und Francesca Vidotto , Quantengravitation der kovarianten Schleife , Cambridge (2014); Entwurf online verfügbar
  • Fortgeschrittenere Einführungs- / Expository-Arbeiten:
    • Carlo Rovelli , Quantengravitation , Cambridge University Press (2004); Entwurf online verfügbar
    • Abhay Ashtekar , Neue Perspektiven in der kanonischen Schwerkraft , Bibliopolis (1988).
    • Abhay Ashtekar , Vorlesungen über nicht störende kanonische Schwerkraft , World Scientific (1991)
    • Rodolfo Gambini und Jorge Pullin , Schleifen, Knoten, Eichentheorien und Quantengravitation , Cambridge University Press (1996)
    • T. Thiemann Der LQG - String: Quantisierung der Schleifenquantengravitation der Stringtheorie (2004)
    • Celada, Mariano; Gonzalez, Diego; Montesinos, Merced (2016). "BF Schwerkraft". Klassische und Quantengravitation . 33 (21): 213001. arXiv : 1610.02020 . Bibcode : 2016CQGra..33u3001C . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 33/21/213001 .
  • Aktuelle Bewertungen
    • Rovelli, Carlo (2011). "Zakopane hält Vorträge über die Schwerkraft der Schleife". arXiv : 1102,3660 [ gr-qc ].
    • Rovelli, Carlo (1998). "Schleifenquantengravitation" . Lebende Rezensionen in der Relativitätstheorie . 1 (1): 1. arXiv : gr-qc / 9710008 . Bibcode : 1998LRR ..... 1 .... 1R . doi : 10.12942 / lrr-1998-1 . PMC  5567241 . PMID  28937180 .
    • Thiemann, Thomas (2003). "Vorlesungen über die Quantengravitation von Schleifen". Quantengravitation . Vorlesungsunterlagen in Physik . Band 631. S. 41–135. arXiv : gr-qc / 0210094 . Bibcode : 2003LNP ... 631 ... 41T . doi : 10.1007 / 978-3-540-45230-0_3 . ISBN 978-3-540-40810-9. |volume= has extra text (help)
    • Ashtekar, Abhay ; Lewandowski, Jerzy (2004). "Hintergrundunabhängige Quantengravitation: Ein Statusbericht". Klassische und Quantengravitation . 21 (15): R53 - R152. arXiv : gr-qc / 0404018 . Bibcode : 2004CQGra..21R..53A . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 21/15 / R01 .
    • Carlo Rovelli und Marcus Gaul, Schleifenquantengravitation und die Bedeutung der Diffeomorphismus-Invarianz , E-Print als gr-qc / 9910079 erhältlich .
    • Lee Smolin , Der Fall für Hintergrundunabhängigkeit , E-Print als hep-th / 0507235 erhältlich .
    • Alejandro Corichi , Schleifenquantengeometrie: Ein Primer , E-Print, erhältlich als Schleifenquantengeometrie: Ein Primer .
    • Alejandro Perez, Einführung in die Schleifenquantengravitation und Spinschäume , E-Print als Einführung in die Schleifenquantengravitation und Spinschäume erhältlich .
  • Grundlagenforschung:
    • Roger Penrose , Drehimpuls: Ein Ansatz zur kombinatorischen Raumzeit in der Quantentheorie und darüber hinaus , hrsg. Ted Bastin, Cambridge University Press, 1971
    • Rovelli, Carlo ; Smolin, Lee (1988). "Knotentheorie und Quantengravitation". Briefe zur körperlichen Überprüfung . 61 (10): 1155–1158. Bibcode : 1988PhRvL..61.1155R . doi : 10.1103 / PhysRevLett.61.1155 . PMID  10038716 .
    • Rovelli, Carlo ; Smolin, Lee (1990). "Schleifenraumdarstellung der allgemeinen Quantenrelativität". Kernphysik . B331 (1): 80–152. Bibcode : 1990NuPhB.331 ... 80R . doi : 10.1016 / 0550-3213 (90) 90019-a .
    • Carlo Rovelli und Lee Smolin , Diskretion von Fläche und Volumen in der Quantengravitation , Nucl. Phys., B442 (1995) 593–622, E-Print erhältlich als arXiv : gr-qc / 9411005
    • Thiemann, Thomas (2007). "Schleifenquantengravitation: Eine Innenansicht". Ansätze zur Grundlagenphysik . Vorlesungsunterlagen in Physik. 721 : 185–263. arXiv : hep-th / 0608210 . Bibcode : 2007LNP ... 721..185T . doi : 10.1007 / 978-3-540-71117-9_10 . ISBN 978-3-540-71115-5.

Externe Links [ Bearbeiten ]

  • Einführung in Loop Quantum Gravity Online-Vorlesungen von Carlo Rovelli
  • Covariant Loop Quantum Gravity von Carlo Rovelli und Francesca Vidotto
  • "Loop Quantum Gravity" von Carlo Rovelli Physics World, November 2003
  • Quantenschaum und Schleifenquantengravitation
  • Abhay Ashtekar: Halbpopuläre Artikel. Einige ausgezeichnete populäre Artikel, die für Anfänger über Raum, Zeit, GR und LQG geeignet sind.
  • Schleifenquantengravitation: Lee Smolin.
  • Loop Quantum Gravity Lectures Online von Lee Smolin
  • Spin-Netzwerke, Spin-Schäume und Schleifenquantengravitation
  • Wired Magazine, News: Über die Stringtheorie hinaus
  • April 2006 Scientific American Special Issue, Eine Frage der Zeit , hat Lee Smolin LQG Artikel Atome von Raum und Zeit
  • September 2006, The Economist, Artikel Looping the Loop
  • Großflächiges Gammastrahlen-Weltraumteleskop: Das Fermi-Gammastrahlen-Weltraumteleskop
  • Zeno trifft auf moderne Wissenschaft. Artikel aus Acta Physica Polonica B von ZK Silagadze.
  • Hat das Universum vor dem Urknall seine Spuren am Himmel hinterlassen? - Nach einem Modell, das auf der Theorie der "Schleifenquantengravitation" basiert, hat ein Elternuniversum, das vor unserem existierte, möglicherweise Spuren hinterlassen ( New Scientist , 10. April 2008).
  • O'Dowd, Matt (15 October 2019). "Loop Quantum Gravity Explained". PBS Space Time – via YouTube.