Taylor-Reihe

In der Mathematik ist die Taylor-Reihe einer Funktion eine unendliche Summe von Termen, die durch die Ableitungen der Funktion an einem einzigen Punkt ausgedrückt werden. Bei den meisten gebräuchlichen Funktionen sind die Funktion und die Summe ihrer Taylor-Reihen nahe diesem Punkt gleich. Taylor-Serien sind nach Brook Taylor benannt , der sie 1715 einführte.

Wenn 0 der Punkt ist, an dem die Ableitungen betrachtet werden, wird eine Taylor-Reihe auch als Maclaurin-Reihe bezeichnet, nach Colin Maclaurin , der diesen Spezialfall der Taylor-Reihe im 18. Jahrhundert ausgiebig nutzte.

Die aus den ersten n + 1 Termen einer Taylor-Reihe gebildete Partialsumme ist ein Polynom vom Grad n , das als n -tes Taylor-Polynom der Funktion bezeichnet wird. Taylorpolynome sind Annäherungen an eine Funktion, die im Allgemeinen mit zunehmendem n besser werden . Der Satz von Taylor liefert quantitative Schätzungen des Fehlers, der durch die Verwendung solcher Annäherungen eingeführt wird. Wenn die Taylor-Reihe einer Funktion konvergiert , ist ihre Summe der Grenzwert der unendlichen Folgeder Taylor-Polynome. Eine Funktion kann sich von der Summe ihrer Taylor-Reihen unterscheiden, selbst wenn ihre Taylor-Reihe konvergent ist. Eine Funktion ist an einem Punkt x analytisch , wenn sie gleich der Summe ihrer Taylor-Reihen in einem offenen Intervall (oder einer offenen Scheibe in der komplexen Ebene ) ist, die x enthält . Dies impliziert, dass die Funktion an jedem Punkt des Intervalls (oder der Scheibe) analytisch ist.

Die Taylorreihe einer reellen oder komplexwertigen Funktion f  ( x ) , die bei einer reellen oder komplexen Zahl a unendlich differenzierbar ist, ist die Potenzreihe

wobei f ^{( n )} ( a ) die n - te Ableitung von f bezeichnet , berechnet am Punkt a . (Die Ableitung nullter Ordnung von f ist als f selbst definiert und ( x − a ) ⁰ und 0! sind beide als 1 definiert .)

Durch Integration der obigen Maclaurin-Reihe finden wir die Maclaurin-Reihe für ln(1 − x ) , wobei ln den natürlichen Logarithmus bezeichnet :

Wenn der Grad des Taylor-Polynoms ansteigt, nähert es sich der korrekten Funktion. Dieses Bild zeigt sin x und seine Taylor-Approximationen durch Polynome 1. , 3. , 5. , 7. , 9. , 11. und 13. Grades bei x = 0 .

Die Funktion e ^{(−1/ x 2 )} ist bei x = 0 nicht analytisch : die Taylorreihe ist identisch 0, die Funktion jedoch nicht.

Die Sinusfunktion (blau) wird durch ihr Taylor-Polynom vom Grad 7 (rosa) für eine volle Periode, zentriert am Ursprung, eng angenähert.

Die Taylor-Polynome für ln(1 + x ) liefern nur genaue Näherungen im Bereich −1 < x ≤ 1 . Für x > 1 liefern Taylorpolynome höheren Grades schlechtere Näherungen.

Die Taylor-Näherungen für ln(1 + x ) (schwarz). Für x > 1 gehen die Näherungen auseinander.

Die Exponentialfunktion e ^x (in Blau) und die Summe der ersten n + 1 Terme ihrer Taylor-Reihe bei 0 (in Rot).

Näherung der Taylorreihe zweiter Ordnung (in orange) einer Funktion f  ( x , y ) = e ^x ln(1 + y ) um den Ursprung.