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Griechischer Mathematiker Euklid (mit Bremssätteln ), 3. Jahrhundert v. Chr., Wie von Raphael in diesem Detail aus der Schule von Athen (1509–1511) vorgestellt [a]

Mathematik (aus dem Griechischen : μάθημα , máthēma , 'Wissen, Lernen, Lernen') umfasst das Studium von Themen wie Quantität ( Zahlentheorie ), [1] Struktur ( Algebra ), [2] Raum ( Geometrie ), [1] und Änderung ( Analyse ). [3] [4] [5] Es gibt keine allgemein anerkannte Definition . [6] [7]

Mathematiker suchen und verwenden Muster [8] [9], um neue Vermutungen zu formulieren ; Sie lösen die Wahrheit oder Falschheit solcher durch mathematische Beweise auf . Wenn mathematische Strukturen gute Modelle realer Phänomene sind, kann das mathematische Denken verwendet werden, um Einblicke oder Vorhersagen über die Natur zu liefern. Durch die Verwendung von Abstraktion und Logik , Mathematik aus dem entwickelten Zählen , Berechnung , Messung und die systematischen Untersuchung der Formen und Bewegungen von physischen Objekten. Praktische Mathematik war eine menschliche Tätigkeit, seit es schriftliche Aufzeichnungen gibt. Die zur Lösung mathematischer Probleme erforderliche Forschung kann Jahre oder sogar Jahrhunderte dauern.

Rigorose Argumente zuerst in erschien griechischen Mathematik , vor allem in Euclid ‚s Elemente . [10] Seit der Pionierarbeit von Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943) und anderen über axiomatische Systeme im späten 19. Jahrhundert ist es üblich geworden, mathematische Forschung als Wahrheitsfindung durch rigorose Ableitung von zu betrachten entsprechend gewählte Axiome und Definitionen . Die Mathematik entwickelte sich relativ langsam bis zur Renaissance , als mathematische Innovationen mit neuen interagiertenwissenschaftliche Entdeckungen führten zu einem raschen Anstieg der Rate mathematischer Entdeckungen, die bis heute andauert. [11]

Mathematik ist in vielen Bereichen von wesentlicher Bedeutung, einschließlich Naturwissenschaften , Ingenieurwissenschaften , Medizin , Finanzen und Sozialwissenschaften . Angewandte Mathematik hat zu völlig neuen mathematischen Disziplinen wie Statistik und Spieltheorie geführt . Mathematiker beschäftigen sich mit reiner Mathematik (Mathematik um ihrer selbst willen), ohne eine Anwendung im Auge zu haben, aber praktische Anwendungen für das, was als reine Mathematik begann, werden oft später entdeckt. [12] [13]

Geschichte

Die Geschichte der Mathematik kann als eine ständig wachsende Reihe von Abstraktionen angesehen werden . Die erste Abstraktion, die von vielen Tieren geteilt wird [14], war wahrscheinlich die der Zahlen: die Erkenntnis, dass eine Sammlung von zwei Äpfeln und eine Sammlung von zwei Orangen (zum Beispiel) etwas gemeinsam haben, nämlich die Menge ihrer Mitglieder.

Wie die auf Knochen gefundenen Zahlen belegen , haben prähistorische Völker nicht nur erkannt, wie physische Objekte zu zählen sind, sondern auch, wie abstrakte Größen wie Zeit - Tage, Jahreszeiten oder Jahre zu zählen sind. [15] [16]

Die babylonische mathematische Tafel Plimpton 322 aus dem Jahr 1800 v.

Beweise für eine komplexere Mathematik erscheinen erst um 3000 v .  Chr. , Als die Babylonier und Ägypter damit begannen, Arithmetik , Algebra und Geometrie für Steuern und andere Finanzberechnungen, für Bauarbeiten und für die Astronomie zu verwenden . [17] Die ältesten mathematischen Texte aus Mesopotamien und Ägypten stammen aus den Jahren 2000 bis 1800 v. [18] Viele frühe Texte erwähnen pythagoreische Tripel und damit den Satz von Pythagorasscheint die älteste und am weitesten verbreitete mathematische Entwicklung nach Grundrechenarten und Geometrie zu sein. [19] In der babylonischen Mathematik erscheint die Elementararithmetik ( Addition , Subtraktion , Multiplikation und Division ) zuerst in der archäologischen Aufzeichnung. Die Babylonier besaßen auch ein Ortswertsystem und verwendeten ein sexagesimales Zahlensystem [19], das bis heute zur Messung von Winkeln und Zeit verwendet wird. [20]

Archimedes verwendete die Methode der Erschöpfung, um den Wert von pi zu approximieren .

Ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. Begannen die alten Griechen mit den Pythagoräern und mit der griechischen Mathematik ein systematisches Studium der Mathematik als eigenständiges Fach. [21] Um 300 v. Chr. Führte Euklid die heute noch in der Mathematik verwendete axiomatische Methode ein , die aus Definition, Axiom, Theorem und Beweis besteht. Sein Buch Elements gilt allgemein als das erfolgreichste und einflussreichste Lehrbuch aller Zeiten. [22] Der größte Mathematiker der Antike wird oft als Archimedes (ca. 287–212 v. Chr.) Von Syrakus angesehen . [23]Er entwickelte Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens der Rotationskörper und verwendete die Methode der Erschöpfung , um die Fläche unter dem Bogen einer Parabel mit der Summe einer unendlichen Reihe auf eine Weise zu berechnen, die der modernen Analysis nicht allzu unähnlich ist. [24] Andere bemerkenswerte Errungenschaften der griechischen Mathematik sind Kegelschnitte ( Apollonius von Perga , 3. Jahrhundert v. Chr.), [25] Trigonometrie ( Hipparchus von Nicäa , 2. Jahrhundert v. Chr.) [26] und die Anfänge der Algebra ( Diophantus , 3. Jahrhundert n. Chr.) ). [27]

Die im Bakhshali-Manuskript verwendeten Ziffern stammen aus dem 2. Jahrhundert vor Christus und dem 2. Jahrhundert nach Christus.

Das hindu-arabische Zahlensystem und die Regeln für die Verwendung seiner Operationen, die heute weltweit angewendet werden, haben sich im Laufe des ersten Jahrtausends n. Chr. In Indien weiterentwickelt und wurden über die islamische Mathematik in die westliche Welt übertragen . [28] Andere bemerkenswerte Entwicklungen der indischen Mathematik gehören die moderne Definition und Annäherung der Sinus und Cosinus , [28] und eine frühe Form der unendlichen Reihe .

Eine Seite aus al-Khwārizmīs Algebra

Während des Goldenen Zeitalters des Islam , insbesondere im 9. und 10. Jahrhundert, wurden in der Mathematik viele wichtige Innovationen entwickelt, die auf der griechischen Mathematik aufbauen. Die bemerkenswerteste Errungenschaft der islamischen Mathematik war die Entwicklung der Algebra . Weitere Errungenschaften der islamischen Zeit sind Fortschritte in der sphärischen Trigonometrie und die Hinzufügung des Dezimalpunkts zum arabischen Zahlensystem. [29] [30] Viele bemerkenswerte Mathematiker aus dieser Zeit waren Perser, wie Al-Khwarismi , Omar Khayyam und Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī .

In der frühen Neuzeit begann sich die Mathematik in Westeuropa immer schneller zu entwickeln . Die Entwicklung der Analysis durch Newton und Leibniz im 17. Jahrhundert revolutionierte die Mathematik. [31] Leonhard Euler war der bedeutendste Mathematiker des 18. Jahrhunderts und trug zahlreiche Theoreme und Entdeckungen bei. [32] Die vielleicht wichtigste Mathematiker des 19. Jahrhunderts war der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß , [33] , die zahlreichen Beiträge zu Bereichen wie aus Algebra , Analyse , Differentialgeometrie , Matrixtheorie ,Zahlentheorie und Statistik . Zu Beginn des 20. Jahrhunderts transformierte Kurt Gödel die Mathematik, indem er seine Unvollständigkeitssätze veröffentlichte , die teilweise zeigen, dass jedes konsistente axiomatische System - wenn es stark genug ist, um die Arithmetik zu beschreiben - wahre Sätze enthält, die nicht bewiesen werden können. [34]

Die Mathematik wurde seitdem stark erweitert, und es gab eine fruchtbare Wechselwirkung zwischen Mathematik und Naturwissenschaften zum Nutzen beider. Mathematische Entdeckungen werden bis heute gemacht. Laut Mikhail B. Sevryuk in der Januar-Ausgabe 2006 des Bulletins der American Mathematical Society : "Die Anzahl der Artikel und Bücher, die seit 1940 (dem ersten Betriebsjahr von MR) in der Datenbank Mathematical Reviews enthalten sind, beträgt jetzt mehr als 1,9 Die überwiegende Mehrheit der Werke in diesem Ozean enthält neue mathematische Theoreme und ihre Beweise . " [35]

Etymologie

Das Wort Mathematik stammt aus dem Altgriechischen máthēma ( μάθημα ) und bedeutet "das Gelernte", [36] "was man kennenlernt", daher auch "studieren" und "Wissenschaft". Das Wort für "Mathematik" hatte auch in der klassischen Zeit die engere und technischere Bedeutung "mathematisches Studium". [37] Sein Adjektiv ist mathēmatikós ( μαθηματικός ) und bedeutet " lernbezogen " oder "fleißig", was ebenfalls "mathematisch" bedeutet. Insbesondere mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; Latein :ars mathematica) bedeutete "die mathematische Kunst".

In ähnlicher Weise war eine der beiden Hauptgedankenschulen im Pythagoräismus als mathēmatikoi (μαθηματικοί) bekannt, was zu dieser Zeit im modernen Sinne eher "Lernende" als "Mathematiker" bedeutete. [38]

Im Lateinischen und im Englischen bis etwa 1700 bedeutete der Begriff Mathematik häufiger " Astrologie " (oder manchmal " Astronomie ") als "Mathematik"; Die Bedeutung änderte sich allmählich zu ihrer jetzigen von etwa 1500 bis 1800. Dies hat zu mehreren Fehlübersetzungen geführt. Zum Beispiel wird die Warnung des Heiligen Augustinus , dass Christen sich vor Mathematikern , dh Astrologen, hüten sollten , manchmal als Verurteilung von Mathematikern falsch übersetzt. [39]

Die scheinbare Pluralform im Englischen geht wie die französische Pluralform les mathématiques (und das weniger häufig verwendete Singular- Derivat la mathématique ) auf den lateinischen neutralen Plural mathematica ( Cicero ) zurück, der auf dem griechischen Plural ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) basiert. wird von Aristoteles (384–322 v. Chr.) verwendet und bedeutet ungefähr "alles Mathematische", obwohl es plausibel ist, dass Englisch nur das Adjektiv Mathematik (al) entlehnt und das Substantiv Mathematik nach dem Muster der Physik und Metaphysik neu gebildet hat, die vom Griechischen geerbt wurden. [40] Im Englischen nimmt das Substantiv Mathematik ein singuläres Verb. Es wird oft verkürzt Mathematik oder in Nordamerika, math . [41]

Definitionen der Mathematik

Leonardo Fibonacci , der italienische Mathematiker, der das hindu-arabische Zahlensystem, das zwischen dem 1. und 4. Jahrhundert von indischen Mathematikern erfunden wurde, in die westliche Welt einführte .

Mathematik hat keine allgemein akzeptierte Definition. [6] [7] Aristoteles definierte Mathematik als "Wissenschaft der Quantität" und diese Definition setzte sich bis zum 18. Jahrhundert durch. Aristoteles bemerkte jedoch auch, dass ein Fokus auf Quantität allein Mathematik nicht von Wissenschaften wie Physik unterscheiden kann; seiner Ansicht nach unterscheiden sich die Mathematik durch Abstraktion und das Studium der Quantität als eine Eigenschaft, die "in Gedanken trennbar" von realen Instanzen ist. [42]

Im 19. Jahrhundert, als das Studium der Mathematik immer strenger wurde und sich mit abstrakten Themen wie Gruppentheorie und projektiver Geometrie befasste , die keinen eindeutigen Bezug zu Quantität und Messung haben, schlugen Mathematiker und Philosophen verschiedene neue Definitionen vor . [43]

Sehr viele professionelle Mathematiker interessieren sich nicht für eine Definition von Mathematik oder halten sie für undefinierbar. [6] Es besteht nicht einmal Konsens darüber, ob Mathematik eine Kunst oder eine Wissenschaft ist. [7] Einige sagen nur: "Mathematik ist das, was Mathematiker tun." [6]

Drei führende Typen

Drei führende Arten der Definition von Mathematik werden heute als Logikist , Intuitionist und Formalist bezeichnet und spiegeln jeweils eine andere philosophische Denkschule wider . [44] Alle haben schwerwiegende Mängel, keiner hat breite Akzeptanz und keine Versöhnung scheint möglich. [44]

Logikerdefinitionen

Eine frühe Definition der Mathematik in Bezug auf Logik war die von Benjamin Peirce (1870): "Die Wissenschaft, die die notwendigen Schlussfolgerungen zieht." [45] In der Principia Mathematica haben Bertrand Russell und Alfred North Whitehead das als Logik bekannte bekannte philosophische Programm weiterentwickelt und versucht zu beweisen, dass alle mathematischen Konzepte, Aussagen und Prinzipien vollständig als symbolische Logik definiert und bewiesen werden können . Eine logistische Definition von Mathematik ist Russells (1903) "Alle Mathematik ist symbolische Logik." [46]

Intuitionistische Definitionen

Intuitionistische Definitionen, die sich aus der Philosophie des Mathematikers LEJ Brouwer entwickeln , identifizieren Mathematik mit bestimmten mentalen Phänomenen. Ein Beispiel für eine intuitionistische Definition ist "Mathematik ist die mentale Aktivität, die darin besteht, Konstrukte nacheinander auszuführen." [44] Eine Besonderheit des Intuitionismus besteht darin, dass er einige mathematische Ideen ablehnt, die nach anderen Definitionen als gültig angesehen werden. Während andere Philosophien der Mathematik Objekte zulassen, deren Existenz nachgewiesen werden kann, obwohl sie nicht konstruiert werden können, erlaubt der Intuitionismus insbesondere nur mathematische Objekte, die man tatsächlich konstruieren kann. Intuitionisten lehnen auch das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte ab (dh). Während diese Haltung sie erzwingt eine gemeinsame Version ablehnen durch Widerspruch Beweis als eine tragfähige Beweis Methode, nämlich die Folgerung von aus , sind sie zu schließen , noch in der Lage aus . Für sie ist eine streng schwächere Aussage als . [47]

Formalistische Definitionen

Formalistische Definitionen identifizieren die Mathematik mit ihren Symbolen und den Regeln für deren Bearbeitung. Haskell Curry definierte Mathematik einfach als "Wissenschaft formaler Systeme". [48] Ein formales System besteht aus einer Reihe von Symbolen oder Token und einigen Regeln, wie die Token zu Formeln kombiniert werden sollen . In formalen Systemen hat das Wort Axiom eine spezielle Bedeutung, die sich von der gewöhnlichen Bedeutung einer "selbstverständlichen Wahrheit" unterscheidet, und wird verwendet, um sich auf eine Kombination von Token zu beziehen, die in einem bestimmten formalen System enthalten sind, ohne dass sie mit dem abgeleitet werden müssen Regeln des Systems.

Mathematik als Wissenschaft

Carl Friedrich Gauss , bekannt als der Prinz der Mathematiker

Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss bezeichnete die Mathematik als "Königin der Wissenschaften". [49] In jüngerer Zeit hat Marcus du Sautoy die Mathematik als "Königin der Wissenschaften ... die Hauptantriebskraft für wissenschaftliche Entdeckungen" bezeichnet. [50] Der Philosoph Karl Popper beobachtet , dass „ die meisten mathematischen Theorien sind, wie die von der Physik und Biologie , hypothetisch - deduktive : reine Mathematik daher stellt sich heraus , viel näher an die Naturwissenschaften , der Hypothesen sind Vermutungen zu sein, als es noch vor kurzem schien. "" [51]Popper bemerkte auch, dass "ich ein System mit Sicherheit nur dann als empirisch oder wissenschaftlich zugeben werde, wenn es durch Erfahrung getestet werden kann." [52]

Mehrere Autoren sind der Ansicht, dass Mathematik keine Wissenschaft ist, da sie nicht auf empirischen Beweisen beruht . [53] [54] [55] [56]

Die Mathematik hat viel mit vielen Bereichen der Physik gemeinsam, insbesondere mit der Erforschung der logischen Konsequenzen von Annahmen. Intuition und Experimentieren spielen auch eine Rolle bei der Formulierung von Vermutungen sowohl in der Mathematik als auch in den (anderen) Wissenschaften. Die experimentelle Mathematik gewinnt in der Mathematik weiter an Bedeutung, und Berechnung und Simulation spielen sowohl in den Naturwissenschaften als auch in der Mathematik eine zunehmende Rolle.

Die Meinungen der Mathematiker zu diesem Thema sind unterschiedlich. Viele Mathematiker [57] sind der Meinung, dass die Bedeutung ihrer ästhetischen Seite und ihrer Geschichte in den traditionellen sieben freien Künsten heruntergespielt wird, wenn man ihr Gebiet als Wissenschaft bezeichnet . Andere sind der Meinung, dass das Ignorieren seiner Verbindung zu den Wissenschaften ein Auge zudrücken bedeutet, dass die Schnittstelle zwischen Mathematik und ihren Anwendungen in Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften die Entwicklung in der Mathematik stark vorangetrieben hat. [58] Ein Weg, wie sich dieser Unterschied in der Sichtweise auswirkt, ist die philosophische Debatte darüber, ob Mathematik geschaffen (wie in der Kunst) oder entdeckt wird(wie in der Wissenschaft). In der Praxis werden Mathematiker in der Regel auf Bruttoebene mit Wissenschaftlern gruppiert, auf feineren Ebenen jedoch getrennt. Dies ist eines von vielen Themen, die in der Philosophie der Mathematik berücksichtigt werden . [59]

Inspiration, reine und angewandte Mathematik und Ästhetik

Isaac Newton (links) und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelten eine Infinitesimalrechnung.

Mathematik ergibt sich aus vielen verschiedenen Arten von Problemen. Diese wurden zunächst im Handel, in der Landvermessung , in der Architektur und später in der Astronomie gefunden ; Heute schlagen alle Wissenschaften Probleme vor, die von Mathematikern untersucht wurden, und viele Probleme treten innerhalb der Mathematik selbst auf. Zum Beispiel erfand der Physiker Richard Feynman die Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik unter Verwendung einer Kombination aus mathematischem Denken und physikalischer Einsicht, und die heutige Stringtheorie , eine sich noch entwickelnde wissenschaftliche Theorie, die versucht, die vier fundamentalen Kräfte der Natur zu vereinen , inspiriert weiterhin neue Mathematik. [60]

Einige mathematische Aspekte sind nur in dem Bereich relevant, der sie inspiriert hat, und werden angewendet, um weitere Probleme in diesem Bereich zu lösen. Aber oft erweist sich Mathematik, die von einem Bereich inspiriert ist, in vielen Bereichen als nützlich und ergänzt den allgemeinen Bestand an mathematischen Konzepten. Oft wird zwischen reiner Mathematik und angewandter Mathematik unterschieden . Es stellt sich jedoch häufig heraus, dass reine mathematische Themen Anwendung finden, z . B. die Zahlentheorie in der Kryptographie .

Diese bemerkenswerte Tatsache, dass selbst die "reinste" Mathematik oft praktische Anwendungen hat, hat der Physiker Eugene Wigner als " die unvernünftige Wirksamkeit der Mathematik " bezeichnet. [13] Der Philosoph der Mathematik Mark Steiner hat ausführlich darüber geschrieben und erkennt an, dass die Anwendbarkeit der Mathematik „eine Herausforderung für den Naturalismus“ darstellt. [61] Für die Philosophin der Mathematik Mary Leng ist die Tatsache, dass die physikalische Welt nach dem Diktat nichtkausaler mathematischer Einheiten handelt, die jenseits des Universums existieren, "ein glücklicher Zufall". [62] Auf der anderen Seite für einige Anti-RealistenVerbindungen, die zwischen mathematischen Dingen erworben werden, spiegeln nur die Verbindungen wider, die zwischen Objekten im Universum hergestellt werden, so dass es keinen "glücklichen Zufall" gibt. [62]

Wie in den meisten Bereichen der Studie hat die Explosion des Wissens im wissenschaftlichen Zeitalter der Spezialisierung geführt: Es gibt jetzt Hunderte von spezialisierten Bereichen der Mathematik und dem neuesten Mathematics Subject Classification auf 46 Seiten ausgeführt wird . [63] Mehrere Bereiche der angewandten Mathematik haben sich mit verwandten Traditionen außerhalb der Mathematik zusammengeschlossen und sind zu eigenständigen Disziplinen geworden, darunter Statistik, Operations Research und Informatik .

Für diejenigen, die mathematisch veranlagt sind, gibt es oft einen bestimmten ästhetischen Aspekt in einem Großteil der Mathematik. Viele Mathematiker sprechen über die Eleganz der Mathematik, ihre intrinsische Ästhetik und innere Schönheit. Einfachheit und Allgemeinheit werden geschätzt. Ein einfacher und eleganter Beweis wie Euklids Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt , und eine elegante numerische Methode , die die Berechnung beschleunigt, wie die schnelle Fourier-Transformation, sind schön . GH Hardy in der Entschuldigung eines Mathematikersdrückte die Überzeugung aus, dass diese ästhetischen Überlegungen an sich ausreichen, um das Studium der reinen Mathematik zu rechtfertigen. Er identifizierte Kriterien wie Bedeutung, Unerwartetheit, Unvermeidlichkeit und Wirtschaftlichkeit als Faktoren, die zu einer mathematischen Ästhetik beitragen. [64] In der mathematischen Forschung werden häufig kritische Merkmale eines mathematischen Objekts gesucht. Ein Satz, der durch diese Merkmale als Charakterisierung des Objekts ausgedrückt wird, ist der Preis. Beispiele für besonders prägnante und aufschlussreiche mathematische Argumente wurden in Proofs from THE BOOK veröffentlicht .

Die Popularität der Freizeitmathematik ist ein weiteres Zeichen für die Freude, die viele an der Lösung mathematischer Fragen haben. Und im anderen sozialen Extrem finden Philosophen weiterhin Probleme in der Philosophie der Mathematik , wie zum Beispiel die Natur des mathematischen Beweises . [65]

Notation, Sprache und Genauigkeit

Leonhard Euler schuf und popularisierte einen Großteil der heute verwendeten mathematischen Notation.

Der größte Teil der heute verwendeten mathematischen Notation wurde erst im 16. Jahrhundert erfunden. [66] Vorher wurde die Mathematik in Worten geschrieben, was die mathematische Entdeckung einschränkte. [67] Euler (1707–1783) war für viele der heute verwendeten Notationen verantwortlich. Die moderne Notation macht die Mathematik für den Fachmann viel einfacher, aber Anfänger finden sie oft entmutigend. Laut Barbara Oakley kann dies auf die Tatsache zurückgeführt werden, dass mathematische Ideen sowohl abstrakter als auch verschlüsselter sind als die der natürlichen Sprache. [68] Im Gegensatz zur natürlichen Sprache, in der Menschen oft ein Wort gleichsetzen können (z. B. Kuh)) Mit dem physischen Objekt, dem es entspricht, sind mathematische Symbole abstrakt und es fehlt jedes physikalische Analogon. [69] Mathematische Symbole sind auch stärker verschlüsselt als normale Wörter, was bedeutet, dass ein einzelnes Symbol eine Reihe verschiedener Operationen oder Ideen codieren kann. [70]

Die mathematische Sprache kann für Anfänger schwierig zu verstehen sein, da selbst gebräuchliche Begriffe wie oder und nur eine genauere Bedeutung haben als in der Alltagssprache, und andere Begriffe wie offen und feldbezogen beziehen sich auf bestimmte mathematische Ideen, die nicht von ihnen abgedeckt werden Laienbedeutungen. Die mathematische Sprache enthält auch viele Fachbegriffe wie Homöomorphismus und Integrierbarkeit , die außerhalb der Mathematik keine Bedeutung haben. Außerdem gehören Kurzphrasen wie iff für " genau dann, wenn " zum mathematischen Jargon. Es gibt einen Grund für spezielle Notation und technisches Vokabular: Mathematik erfordert mehr Präzision als alltägliche Sprache. Mathematiker bezeichnen diese Präzision von Sprache und Logik als "Strenge".

Der mathematische Beweis ist grundsätzlich eine Frage der Strenge . Mathematiker möchten, dass ihre Theoreme durch systematisches Denken aus Axiomen folgen. Dies dient dazu, falsche " Theoreme " zu vermeiden , die auf fehlbaren Intuitionen beruhen, von denen viele Fälle in der Geschichte des Subjekts aufgetreten sind. [b] Das in der Mathematik erwartete Maß an Strenge hat sich im Laufe der Zeit verändert: Die Griechen erwarteten detaillierte Argumente, jedoch zur Zeit von Isaac NewtonDie angewandten Methoden waren weniger streng. Probleme, die den von Newton verwendeten Definitionen inhärent sind, würden im 19. Jahrhundert zu einem Wiederaufleben sorgfältiger Analysen und formaler Beweise führen. Das Missverständnis der Strenge ist eine Ursache für einige der häufigsten Missverständnisse der Mathematik. Noch heute streiten sich Mathematiker untereinander über computergestützte Beweise . Da große Berechnungen schwer zu überprüfen sind, können solche Beweise fehlerhaft sein, wenn das verwendete Computerprogramm fehlerhaft ist. [c] [71] Andererseits ermöglichen Beweisassistenten die Überprüfung aller Details, die nicht in einem handschriftlichen Beweis angegeben werden können, und geben Gewissheit über die Richtigkeit langer Beweise wie des Feit-Thompson-Theorems . [d]

Axiome im traditionellen Denken waren "selbstverständliche Wahrheiten", aber diese Auffassung ist problematisch. [72] Auf formaler Ebene ist ein Axiom nur eine Folge von Symbolen, die nur im Kontext aller ableitbaren Formeln eines axiomatischen Systems eine intrinsische Bedeutung haben . Es war das Ziel von Hilberts Programm , die gesamte Mathematik auf eine feste axiomatische Basis zu stellen, aber nach Gödels Unvollständigkeitssatz hat jedes (ausreichend leistungsfähige) axiomatische System unentscheidbare Formeln; und so ist eine endgültige Axiomatisierung der Mathematik unmöglich. Dennoch wird Mathematik oft als (soweit formal) nichts anderes als Mengenlehre angesehenin einigen Axiomatisierungen in dem Sinne, dass jede mathematische Aussage oder jeder mathematische Beweis innerhalb der Mengenlehre in Formeln umgewandelt werden könnte. [73]

Bereiche der Mathematik

Der Abakus ist ein einfaches Rechenwerkzeug, das seit der Antike verwendet wird.

Die Mathematik kann im Großen und Ganzen in das Studium von Quantität, Struktur, Raum und Veränderung (dh Arithmetik , Algebra , Geometrie und Analyse ) unterteilt werden. Zusätzlich zu diesen Hauptanliegen gibt es auch Unterabteilungen, die sich mit der Erforschung von Verbindungen vom Herzen der Mathematik zu anderen Bereichen befassen: zur Logik , zur Festlegung der Theorie ( Grundlagen ), zur empirischen Mathematik der verschiedenen Wissenschaften ( angewandte Mathematik ) und in jüngerer Zeit zur rigorosen Untersuchung der Unsicherheit . Während einige Bereiche nicht miteinander verbunden zu sein scheinen, ist das Langlands-Programmhat Verbindungen zwischen Bereichen gefunden, die bisher als nicht verbunden galten, wie Galois-Gruppen , Riemann-Oberflächen und Zahlentheorie .

Diskrete Mathematik gruppiert herkömmlicherweise die Bereiche der Mathematik, in denen mathematische Strukturen untersucht werden, die grundsätzlich diskret und nicht kontinuierlich sind.

Grundlagen und Philosophie

Um die Grundlagen der Mathematik zu klären , wurden die Bereiche der mathematischen Logik und der Mengenlehre entwickelt. Mathematische Logik umfasst das mathematische Studium der Logik und die Anwendung der formalen Logik auf andere Bereiche der Mathematik; Die Mengenlehre ist der Zweig der Mathematik, der Mengen oder Sammlungen von Objekten untersucht. Der Ausdruck "Krise der Grundlagen" beschreibt die Suche nach einer rigorosen Grundlage für die Mathematik, die von ungefähr 1900 bis 1930 stattfand. [74] Einige Meinungsverschiedenheiten über die Grundlagen der Mathematik bestehen bis heute fort. Die Stiftungskrise wurde zu dieser Zeit durch eine Reihe von Kontroversen ausgelöst, darunter dieKontroverse über Cantors Mengenlehre und die Brouwer-Hilbert-Kontroverse .

Die mathematische Logik befasst sich mit der Festlegung der Mathematik in einem strengen axiomatischen Rahmen und der Untersuchung der Auswirkungen eines solchen Rahmens. Als solches ist es die Heimat von Gödels Unvollständigkeitssätzen, die (informell) implizieren, dass jedes effektive formale System , das grundlegende Arithmetik enthält, wenn Ton (was bedeutet, dass alle Sätze, die bewiesen werden können, wahr sind), notwendigerweise unvollständig ist (was bedeutet, dass es wahre Sätze gibt) was in diesem System nicht bewiesen werden kann). Unabhängig davon, welche endliche Sammlung zahlentheoretischer Axiome als Grundlage dient, zeigte Gödel, wie man eine formale Aussage konstruiert, die eine wahre zahlentheoretische Tatsache ist, die sich jedoch nicht aus diesen Axiomen ergibt. Daher ist kein formales System eine vollständige Axiomatisierung der Vollzahlentheorie. Moderne Logik wird in geteilt Rekursionstheorie , Modelltheorie und Beweistheorie , und ist eng verknüpft theoretische Informatik , [75] sowie Kategorientheorie . Im Kontext der Rekursionstheorie kann die Unmöglichkeit einer vollständigen Axiomatisierung der Zahlentheorie auch als Folge des MRDP-Theorems formal demonstriert werden .

Die theoretische Informatik umfasst die Berechenbarkeitstheorie , die rechnerische Komplexitätstheorie und die Informationstheorie . Die Berechenbarkeitstheorie untersucht die Einschränkungen verschiedener theoretischer Modelle des Computers, einschließlich des bekanntesten Modells - der Turing-Maschine . Die Komplexitätstheorie ist das Studium der Traktierbarkeit durch Computer; Einige Probleme sind zwar theoretisch mit dem Computer lösbar, aber zeitlich oder räumlich so teuer, dass ihre Lösung selbst mit dem raschen Fortschritt der Computerhardware wahrscheinlich praktisch nicht durchführbar bleibt. Ein berühmtes Problem ist das " P = NP ? " - Problem, eines der Millennium-Preisprobleme .[76] Schließlich befasst sich die Informationstheorie mit der Datenmenge, die auf einem bestimmten Medium gespeichert werden kann, und befasst sich daher mit Konzepten wie Komprimierung und Entropie .

Reine Mathematik

Zahlensysteme und Zahlentheorie

Das Studium der Quantität beginnt mit Zahlen, zunächst den bekannten natürlichen Zahlen und ganzen Zahlen ("ganzen Zahlen") und arithmetischen Operationen an ihnen, die in der Arithmetik charakterisiert sind . Die tieferen Eigenschaften von ganzen Zahlen werden in der Zahlentheorie untersucht , aus der so populäre Ergebnisse wie Fermats letzter Satz hervorgehen . Die Twin-Prime- Vermutung und die Goldbach-Vermutung sind zwei ungelöste Probleme in der Zahlentheorie.

Während das Zahlensystem weiterentwickelt wird, werden die ganzen Zahlen als Teilmenge der rationalen Zahlen (" Brüche ") erkannt . Diese wiederum sind in den reellen Zahlen enthalten , die verwendet werden, um Grenzen von Folgen rationaler Zahlen und kontinuierlicher Größen darzustellen . Reelle Zahlen werden auf die komplexen Zahlen verallgemeinert . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra , alle Polynom Gleichungen in einer Unbekannten mit komplexen Koeffizienten haben eine Lösung in den komplexen Zahlen, unabhängig vom Grad des Polynoms. und sind die ersten Schritte einer Hierarchie von Zahlen, die später eingeschlossen wirdQuaternionen und Oktonionen . Die Berücksichtigung der natürlichen Zahlen führt auch zu den transfiniten Zahlen , die das Konzept der " Unendlichkeit " formalisieren . Ein weiterer Studienbereich ist die Größe der Mengen, die mit den Kardinalzahlen beschrieben wird . Dazu gehören die Aleph-Zahlen , die einen aussagekräftigen Vergleich der Größe unendlich großer Mengen ermöglichen.

Struktur

Viele mathematische Objekte, wie z. B. Mengen von Zahlen und Funktionen , weisen als Folge von Operationen oder Beziehungen , die auf der Menge definiert sind , eine interne Struktur auf. Die Mathematik untersucht dann die Eigenschaften dieser Mengen, die sich in Form dieser Struktur ausdrücken lassen. Zum Beispiel untersucht die Zahlentheorie Eigenschaften der Menge von ganzen Zahlen , die als arithmetische Operationen ausgedrückt werden können. Darüber hinaus kommt es häufig vor, dass verschiedene derartige strukturierte Mengen (oder Strukturen ) ähnliche Eigenschaften aufweisen, was es durch einen weiteren Abstraktionsschritt ermöglicht , Axiome anzugebenfür eine Klasse von Strukturen, und studieren Sie dann sofort die gesamte Klasse von Strukturen, die diese Axiome erfüllen. So kann man Gruppen , Ringe , Felder und andere abstrakte Systeme studieren ; zusammen bilden solche Studien (für Strukturen, die durch algebraische Operationen definiert sind) die Domäne der abstrakten Algebra .

Aufgrund ihrer großen Allgemeinheit kann die abstrakte Algebra häufig auf scheinbar nicht zusammenhängende Probleme angewendet werden. Zum Beispiel wurden einige alte Probleme in Bezug auf Kompass- und Linealkonstruktionen schließlich mit der Galois-Theorie gelöst , die Feldtheorie und Gruppentheorie umfasst. Ein weiteres Beispiel für eine algebraische Theorie ist die lineare Algebra , bei der es sich um die allgemeine Untersuchung von Vektorräumen handelt , deren als Vektoren bezeichnete Elemente sowohl Quantität als auch Richtung haben und zur Modellierung (Beziehungen zwischen) Punkten im Raum verwendet werden können. Dies ist ein Beispiel für das Phänomen, dass die ursprünglich nicht verwandten Bereiche der Geometrie und Algebra in der modernen Mathematik sehr starke Wechselwirkungen aufweisen.Die Kombinatorik untersucht Möglichkeiten zur Aufzählung der Anzahl von Objekten, die zu einer bestimmten Struktur passen.

Raum

Das Studium des Raumes hat seinen Ursprung in der Geometrie - insbesondere in der euklidischen Geometrie , die Raum und Zahlen kombiniert und den bekannten Satz von Pythagoras umfasst . Trigonometrie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Beziehungen zwischen den Seiten und den Winkeln von Dreiecken sowie mit den trigonometrischen Funktionen befasst. Die moderne Raumforschung verallgemeinert diese Ideen auf höherdimensionale Geometrie, nichteuklidische Geometrien (die eine zentrale Rolle in der allgemeinen Relativitätstheorie spielen ) und Topologie . Quantität und Raum spielen beide eine Rolle in der analytischen Geometrie , der Differentialgeometrie undalgebraische Geometrie . Konvexe und diskrete Geometrie wurden entwickelt, um Probleme in der Zahlentheorie und der Funktionsanalyse zu lösen. Sie werden nun mit Blick auf Anwendungen in der Optimierung und Informatik verfolgt . Innerhalb der Differentialgeometrie befinden sich die Konzepte von Faserbündeln und Kalkül auf Verteilern , insbesondere Vektor- und Tensorrechnung . Innerhalb der algebraischen Geometrie ist die Beschreibung geometrischer Objekte als Lösungssätze von Polynomgleichungen , die die Konzepte von Quantität und Raum kombinieren, sowie das Studium vontopologische Gruppen , die Struktur und Raum verbinden. Lügengruppen werden verwendet, um Raum, Struktur und Veränderung zu untersuchen. Die Topologie in all ihren vielen Auswirkungen war möglicherweise der größte Wachstumsbereich in der Mathematik des 20. Jahrhunderts. Es umfasst Punktmengen-Topologie , Mengen-theoretische Topologie , algebraische Topologie und Differentialtopologie . Beispiele für die moderne Topologie sind insbesondere die Metrizierbarkeitstheorie , die axiomatische Mengenlehre , die Homotopietheorie und die Morse-Theorie . Die Topologie enthält auch die jetzt gelöste Poincaré-Vermutungund die noch ungelösten Bereiche der Hodge-Vermutung . Andere Ergebnisse in Bezug auf Geometrie und Topologie, einschließlich des Vierfarbensatzes und der Kepler-Vermutung , wurden nur mit Hilfe von Computern bewiesen.

Veränderung

Das Verstehen und Beschreiben von Veränderungen ist ein allgemeines Thema in den Naturwissenschaften , und die Analysis wurde als Werkzeug entwickelt, um sie zu untersuchen. Funktionen entstehen hier als zentrales Konzept, das eine sich ändernde Menge beschreibt. Die rigorose Untersuchung von reellen Zahlen und Funktionen einer reellen Variablen wird als reelle Analyse bezeichnet , wobei die komplexe Analyse das äquivalente Feld für die komplexen Zahlen ist . Funktionelle Analyse konzentriert sich auf (typischerweise unendlichdimensionale) Räume von Funktionen. Eine von vielen Anwendungen der Funktionsanalyse ist die Quantenmechanik. Viele Probleme führen natürlich zu Beziehungen zwischen einer Größe und ihrer Änderungsrate, und diese werden als Differentialgleichungen untersucht . Viele Phänomene in der Natur können durch dynamische Systeme beschrieben werden ; Die Chaostheorie präzisiert die Art und Weise, in der viele dieser Systeme unvorhersehbares und dennoch deterministisches Verhalten zeigen.

Angewandte Mathematik

Angewandte Mathematik befasst sich mit mathematischen Methoden, die typischerweise in Wissenschaft , Technik , Wirtschaft und Industrie verwendet werden . So „Angewandte Mathematik“ ist eine mathematische Wissenschaft mit spezialisierten Wissen . Der Begriff angewandte Mathematik beschreibt auch die Fachrichtung, in der Mathematiker an praktischen Problemen arbeiten; Als Beruf, der sich auf praktische Probleme konzentriert, konzentriert sich die angewandte Mathematik auf die "Formulierung, das Studium und die Verwendung mathematischer Modelle" in Naturwissenschaften, Ingenieurwissenschaften und anderen Bereichen der mathematischen Praxis.

In der Vergangenheit haben praktische Anwendungen die Entwicklung mathematischer Theorien motiviert, die dann Gegenstand des Studiums der reinen Mathematik wurden, wo die Mathematik in erster Linie für sich selbst entwickelt wird. Die Tätigkeit der angewandten Mathematik ist daher entscheidend mit der Forschung in der reinen Mathematik verbunden .

Statistik und andere Entscheidungswissenschaften

Angewandte Mathematik hat erhebliche Überschneidungen mit der Disziplin Statistik, deren Theorie mathematisch formuliert ist, insbesondere mit der Wahrscheinlichkeitstheorie . Statistiker (die im Rahmen eines Forschungsprojekts arbeiten) "erstellen sinnvolle Daten" mit Zufallsstichproben und randomisierten Experimenten ; [77] Der Entwurf einer statistischen Stichprobe oder eines statistischen Experiments legt die Analyse der Daten fest (bevor die Daten verfügbar werden). Bei der Überprüfung von Daten aus Experimenten und Proben oder bei der Analyse von Daten aus Beobachtungsstudien "verstehen" Statistiker die Daten mithilfe der Modellierungskunst und der Inferenztheorie - mit Modellauswahlund Schätzung ; die geschätzten Modelle und Folge Prognosen werden sollten getestet auf neue Daten . [e]

Die statistische Theorie untersucht Entscheidungsprobleme wie die Minimierung des Risikos ( erwarteter Verlust ) einer statistischen Aktion, wie die Verwendung eines Verfahrens beispielsweise bei der Parameterschätzung , beim Testen von Hypothesen und bei der Auswahl der besten . In diesen traditionellen Bereichen der mathematischen Statistik wird ein statistisches Entscheidungsproblem formuliert, indem eine Zielfunktion wie der erwartete Verlust oder die erwarteten Kosten unter bestimmten Bedingungen minimiert werden: Zum Beispiel beinhaltet das Entwerfen einer Umfrage häufig das Minimieren der Kosten für die Schätzung eines Bevölkerungsmittels mit einem bestimmten Mittelwert Vertrauensniveau. [78]Aufgrund der Verwendung der Optimierung teilt die mathematische Theorie der Statistik Bedenken mit anderen Entscheidungswissenschaften wie Operations Research , Steuerungstheorie und mathematischer Ökonomie . [79]

Computermathematik

Die Computermathematik schlägt Methoden zur Lösung mathematischer Probleme vor und untersucht sie , die typischerweise zu groß für die numerische Kapazität des Menschen sind. Die numerische Analyse untersucht Methoden für Analyseprobleme unter Verwendung der Funktionsanalyse und der Approximationstheorie . Die numerische Analyse umfasst die Untersuchung der Approximation und Diskretisierung im Großen und Ganzen unter besonderer Berücksichtigung von Rundungsfehlern . Die numerische Analyse und allgemein das wissenschaftliche Rechnen untersuchen auch nichtanalytische Themen der Mathematik, insbesondere die algorithmische Matrix- und Graphentheorie. Andere Bereiche der Computermathematik umfassen Computeralgebra und symbolische Berechnung .

Mathematische Auszeichnungen

Wohl die höchste Auszeichnung in der Mathematik ist die Fields - Medaille , [80] [81] im Jahr 1936 gegründet und alle vier Jahre vergeben (außer um die Zweiten Weltkrieg), so viele wie vier Personen. Die Fields-Medaille wird oft als mathematisches Äquivalent zum Nobelpreis angesehen.

Der 1978 ins Leben gerufene Wolfspreis für Mathematik würdigt die Lebensleistung, und eine weitere wichtige internationale Auszeichnung, der Abel-Preis , wurde 2003 ins Leben gerufen. Die Chern-Medaille wurde 2010 eingeführt, um die Lebensleistung anzuerkennen. Diese Auszeichnungen werden für eine bestimmte Arbeit vergeben, die innovativ sein oder eine Lösung für ein herausragendes Problem in einem etablierten Bereich bieten kann.

Eine berühmte Liste von 23 offenen Problemen , genannt " Hilberts Probleme ", wurde 1900 vom deutschen Mathematiker David Hilbert zusammengestellt . Diese Liste hat unter Mathematikern große Berühmtheit erlangt, und mindestens neun der Probleme wurden inzwischen gelöst. Eine neue Liste von sieben wichtigen Problemen mit dem Titel " Millennium Prize Problems " wurde im Jahr 2000 veröffentlicht. Nur eines davon, die Riemann-Hypothese , dupliziert eines von Hilberts Problemen. Eine Lösung für eines dieser Probleme bringt eine Belohnung von 1 Million Dollar mit sich. Derzeit ist nur eines dieser Probleme, die Poincaré-Vermutung , gelöst.

Siehe auch

  • Internationale Mathematikolympiade
  • Listen mit mathematischen Themen
  • Mathematische Wissenschaften
  • Mathematik und Kunst
  • Mathematikunterricht
  • Nationalmuseum für Mathematik
  • Philosophie der Mathematik
  • Beziehung zwischen Mathematik und Physik
  • Wissenschaft, Technologie, Ingenieurwesen und Mathematik

Anmerkungen

  1. ^ Keine Ähnlichkeit oder Beschreibung von Euklids physischer Erscheinung zu Lebzeiten überlebte die Antike. Daher hängt Euklids Darstellung in Kunstwerken von der Vorstellungskraft des Künstlers ab (siehe Euklid ).
  2. ^ Siehe falsche Beweise für einfache Beispiele dafür, was in einem formalen Beweis schief gehen kann.
  3. ^ Um eine große Berechnung, die in einem Proof auftritt, als zuverlässig zu betrachten, sind im Allgemeinen zwei Berechnungen mit unabhängiger Software erforderlich
  4. ^ Das Buch mit dem vollständigen Proof hat mehr als 1.000 Seiten.
  5. ^ Wie andere mathematische Wissenschaften wie Physik und Informatik ist Statistik eher eine autonome Disziplin als ein Zweig der angewandten Mathematik. Forschungsstatistiker sind wie Forschungsphysiker und Informatiker Mathematiker. Viele Statistiker haben einen Abschluss in Mathematik, und einige Statistiker sind auch Mathematiker.

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