Turbulenz

In der Fluiddynamik ist Turbulenz oder turbulente Strömung eine Fluidbewegung, die durch chaotische Änderungen des Drucks und der Strömungsgeschwindigkeit gekennzeichnet ist . Dies steht im Gegensatz zu einer laminaren Strömung , die auftritt, wenn eine Flüssigkeit in parallelen Schichten ohne Unterbrechung zwischen diesen Schichten fließt. ^[1]

Turbulenzen werden häufig in alltäglichen Phänomenen wie Brandung , schnell fließenden Flüssen, wogenden Gewitterwolken oder Rauch aus einem Schornstein beobachtet, und die meisten Flüssigkeitsströme, die in der Natur auftreten oder in technischen Anwendungen entstehen, sind turbulent. ^{[2] [3] : 2} Turbulenzen werden durch übermäßige kinetische Energie in Teilen eines Flüssigkeitsstroms verursacht, wodurch der Dämpfungseffekt der Flüssigkeitsviskosität überwunden wird. Aus diesem Grund werden Turbulenzen üblicherweise in niedrigviskosen Flüssigkeiten realisiert. Im Allgemeinen treten bei turbulenter Strömung instationäre Wirbel in vielen Größen auf, die miteinander interagieren und folglich den Luftwiderstand aufgrund von Reibungseffekten erhöhen. Dies erhöht die Energie, die benötigt wird, um Flüssigkeit durch ein Rohr zu pumpen.

Der Beginn von Turbulenzen kann durch die dimensionslose Reynolds-Zahl vorhergesagt werden , das Verhältnis von kinetischer Energie zu viskoser Dämpfung in einem Fluidstrom. Turbulenzen haben sich jedoch lange Zeit einer detaillierten physikalischen Analyse widersetzt, und die Wechselwirkungen innerhalb von Turbulenzen erzeugen ein sehr komplexes Phänomen. Richard Feynman hat Turbulenzen als das wichtigste ungelöste Problem in der klassischen Physik beschrieben. ^[4]

Laminares und turbulentes Wasser fließt über den Rumpf eines U-Bootes. Mit zunehmender Relativgeschwindigkeit des Wassers treten Turbulenzen auf.

Turbulenzen im Spitzenwirbel von einem Flugzeugflügel , der durch farbigen Rauch geht

• Rauch steigt von einer Zigarette auf . In den ersten Zentimetern ist der Rauch laminar . Die Rauchfahne turbulent wird als Reynolds - Zahl erhöht sich mit Zunahme der Strömungsgeschwindigkeit und charakteristischen Längenskala.
• Über einen Golfball fließen . (Dies kann am besten verstanden werden, wenn der Golfball als stationär betrachtet wird und Luft darüber strömt .) Wenn der Golfball glatt wäre, wäre der Grenzschichtfluss über die Vorderseite der Kugel unter typischen Bedingungen laminar. Die Grenzschicht würde sich jedoch früh trennen, da der Druckgradient von günstig (Druck nimmt in Strömungsrichtung ab) zu ungünstig (Druck steigt in Strömungsrichtung) umschaltet, wodurch ein großer Bereich mit niedrigem Druck hinter der Kugel erzeugt wird, der einen hohen Formwiderstand erzeugt . Um dies zu verhindern, wird die Oberfläche mit Grübchen versehen, um die Grenzschicht zu stören und Turbulenzen zu fördern. Dies führt zu einer höheren Hautreibung, verschiebt jedoch den Punkt der Grenzschichttrennung weiter entlang, was zu einem geringeren Luftwiderstand führt.
• Klare Luftturbulenzen während des Flugzeugfluges sowie schlechtes astronomisches Sehen (Verwischen von Bildern, die durch die Atmosphäre gesehen werden).
• Der größte Teil der terrestrischen atmosphärischen Zirkulation .
• Die ozeanischen und atmosphärischen Mischschichten und intensiven ozeanischen Strömungen.
• Die Strömungsverhältnisse in vielen Industrieanlagen (wie Rohren, Kanälen, Abscheidern, Gaswäschern , dynamischen Wärmetauschern mit abgekratzter Oberfläche usw.) und Maschinen (z. B. Verbrennungsmotoren und Gasturbinen ).
• Der externe Fluss über alle Arten von Fahrzeugen wie Autos, Flugzeuge, Schiffe und U-Boote.
• Die Bewegungen der Materie in Sternatmosphären.
• Ein Strahl, der aus einer Düse in eine ruhende Flüssigkeit austritt. Wenn die Strömung in diese äußere Flüssigkeit austritt, werden Scherschichten erzeugt, die von den Lippen der Düse ausgehen. Diese Schichten trennen den sich schnell bewegenden Strahl von der äußeren Flüssigkeit, und bei einer bestimmten kritischen Reynolds-Zahl werden sie instabil und zerfallen in Turbulenzen.
• Biologisch erzeugte Turbulenzen, die von schwimmenden Tieren herrühren, beeinflussen die Vermischung der Ozeane. ^[5]
• Schneezäune bewirken Turbulenzen im Wind und zwingen ihn, einen Großteil seiner Schneelast in der Nähe des Zauns fallen zu lassen.
• Brückenstützen (Pfeiler) im Wasser. Wenn der Fluss langsam fließt, fließt das Wasser gleichmäßig um die Stützbeine. Wenn die Strömung schneller ist, ist der Strömung eine höhere Reynoldszahl zugeordnet. Die Strömung kann laminar beginnen, löst sich jedoch schnell vom Bein und wird turbulent.
• In vielen geophysikalischen Strömungen (Flüsse, atmosphärische Grenzschicht) wird die Strömungsturbulenz von kohärenten Strukturen und turbulenten Ereignissen dominiert. Ein turbulentes Ereignis ist eine Reihe turbulenter Schwankungen, die mehr Energie enthalten als die durchschnittlichen Strömungsturbulenzen. ^{[6] [7]} Die turbulenten Ereignisse sind mit kohärenten Strömungsstrukturen wie Wirbeln und turbulentem Platzen verbunden und spielen eine entscheidende Rolle in Bezug auf Sedimentreinigung, Akkretion und Transport in Flüssen sowie die Vermischung und Verteilung von Schadstoffen in Flüssen und Flussmündungen und in der Atmosphäre.

• Im medizinischen Bereich der Kardiologie wird ein Stethoskop verwendet, um Herzgeräusche und Blutergüsse zu erkennen , die auf einen turbulenten Blutfluss zurückzuführen sind. Bei normalen Personen sind Herzgeräusche ein Produkt turbulenter Strömung, wenn sich die Herzklappen schließen. Unter bestimmten Bedingungen kann eine turbulente Strömung jedoch aus anderen, teilweise pathologischen Gründen hörbar sein. Beispielsweise kann bei fortgeschrittener Atherosklerose in einigen Gefäßen, die durch den Krankheitsprozess verengt wurden, Blutergüsse (und damit eine turbulente Strömung) zu hören sein.
• In jüngster Zeit wurden Turbulenzen in porösen Medien zu einem umstrittenen Thema. ^[8]

Strömungsvisualisierung eines turbulenten Strahls durch laserinduzierte Fluoreszenz . Der Strahl weist einen weiten Bereich von Längenskalen auf, ein wichtiges Merkmal turbulenter Strömungen.

Turbulenzen zeichnen sich durch folgende Merkmale aus:

Unregelmäßigkeit

Turbulente Strömungen sind immer sehr unregelmäßig. Aus diesem Grund werden Turbulenzprobleme normalerweise eher statistisch als deterministisch behandelt. Turbulente Strömung ist chaotisch. Es sind jedoch nicht alle chaotischen Strömungen turbulent.

Diffusivität

Die leicht verfügbare Energieversorgung in turbulenten Strömungen beschleunigt tendenziell die Homogenisierung (Vermischung) von Fluidgemischen. Die Eigenschaft, die für das verbesserte Mischen und die erhöhten Raten von Massen-, Impuls- und Energietransporten in einer Strömung verantwortlich ist, wird als "Diffusionsvermögen" bezeichnet. ^[9]

Die turbulente Diffusion wird üblicherweise durch einen turbulenten Diffusionskoeffizienten beschrieben . Dieser turbulente Diffusionskoeffizient wird in phänomenologischer Hinsicht in Analogie zu den molekularen Diffusivitäten definiert, hat jedoch keine echte physikalische Bedeutung, da er von den Strömungsbedingungen abhängt und keine Eigenschaft des Fluids selbst ist. Darüber hinaus geht das turbulente Diffusionskonzept von einer konstitutiven Beziehung zwischen einem turbulenten Fluss und dem Gradienten einer mittleren Variablen aus, die der Beziehung zwischen Fluss und Gradient ähnelt, die für den molekularen Transport besteht. Im besten Fall ist diese Annahme nur eine Annäherung. Trotzdem ist die turbulente Diffusivität der einfachste Ansatz für die quantitative Analyse turbulenter Strömungen, und es wurden viele Modelle postuliert, um sie zu berechnen. In großen Gewässern wie Ozeanen kann dieser Koeffizient beispielsweise nach dem Vier-Drittel-Potenzgesetz von Richardson ermittelt werden und unterliegt dem Random-Walk- Prinzip. In Flüssen und großen Meeresströmungen wird der Diffusionskoeffizient durch Variationen der Elderschen Formel angegeben.

Rotation

Turbulente Strömungen haben eine Wirbelung ungleich Null und sind durch einen starken dreidimensionalen Wirbelerzeugungsmechanismus gekennzeichnet, der als Wirbelstreckung bekannt ist . In der Fluiddynamik handelt es sich im Wesentlichen um Wirbel, die einer Dehnung ausgesetzt sind, die mit einer entsprechenden Zunahme der Wirbelkomponente in Dehnungsrichtung verbunden ist - aufgrund der Erhaltung des Drehimpulses. Andererseits ist die Wirbelstreckung der Kernmechanismus, auf den sich die Turbulenzenergiekaskade stützt, um eine identifizierbare Strukturfunktion herzustellen und aufrechtzuerhalten. ^[10] Im Allgemeinen impliziert der Streckmechanismus eine Ausdünnung der Wirbel in der Richtung senkrecht zur Streckrichtung aufgrund der Volumenerhaltung von Fluidelementen. Infolgedessen nimmt die radiale Längenskala der Wirbel ab und die größeren Strömungsstrukturen zerfallen in kleinere Strukturen. Der Prozess wird fortgesetzt, bis die Strukturen im kleinen Maßstab klein genug sind, dass ihre kinetische Energie durch die molekulare Viskosität der Flüssigkeit in Wärme umgewandelt werden kann. Die turbulente Strömung ist immer rotierend und dreidimensional. ^[10] Beispielsweise sind atmosphärische Zyklone rotierend, aber ihre im Wesentlichen zweidimensionalen Formen erlauben keine Wirbelerzeugung und sind daher nicht turbulent. Andererseits sind ozeanische Strömungen dispersiv, aber im Wesentlichen nicht rotierend und daher nicht turbulent. ^[10]

Dissipation

Um eine turbulente Strömung aufrechtzuerhalten, ist eine dauerhafte Energieversorgungsquelle erforderlich, da sich die Turbulenzen schnell auflösen, wenn die kinetische Energie durch viskose Scherbeanspruchung in innere Energie umgewandelt wird. Turbulenzen verursachen die Bildung von Wirbeln mit vielen verschiedenen Längenskalen. Der größte Teil der kinetischen Energie der turbulenten Bewegung ist in den großräumigen Strukturen enthalten. Die Energie "kaskadiert" von diesen großräumigen Strukturen zu kleineren Strukturen durch einen trägen und im wesentlichen nichtviskosen Mechanismus. Dieser Prozess setzt sich fort und erzeugt immer kleinere Strukturen, die eine Hierarchie von Wirbeln erzeugen. Schließlich erzeugt dieser Prozess Strukturen, die klein genug sind, dass die molekulare Diffusion wichtig wird und schließlich eine viskose Energiedissipation stattfindet. Die Skala, auf der dies geschieht, ist die Kolmogorov-Längenskala .

Über diese Energiekaskade kann eine turbulente Strömung als Überlagerung eines Spektrums von Strömungsgeschwindigkeitsschwankungen und Wirbeln mit einer mittleren Strömung realisiert werden . Die Wirbel sind lose als kohärente Muster von Strömungsgeschwindigkeit, Vorticity und Druck definiert. Turbulente Strömungen können als aus einer ganzen Hierarchie von Wirbeln über einen weiten Bereich von Längenskalen zusammengesetzt betrachtet werden, und die Hierarchie kann durch das Energiespektrum beschrieben werden, das die Energie in Strömungsgeschwindigkeitsschwankungen für jede Längenskala ( Wellenzahl ) misst . Die Skalen in der Energiekaskade sind im Allgemeinen unkontrollierbar und stark unsymmetrisch. Basierend auf diesen Längenskalen können diese Wirbel jedoch in drei Kategorien unterteilt werden.

Integrale Zeitskala

Die integrale Zeitskala für einen Lagrange-Fluss kann definiert werden als:

${\ displaystyle T = \ left ({\ frac {1} {\ langle u'u '\ rangle}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} \ langle u'u' (\ tau) \ rangle \, d \ tau}$

wobei u 'die Geschwindigkeitsschwankung ist und${\ displaystyle \ tau}$ist die Zeitverzögerung zwischen den Messungen. ^[11]

Integrale Längenskalen

Große Wirbel beziehen Energie aus dem mittleren Durchfluss und auch voneinander. Dies sind also die Energieerzeugungswirbel, die den größten Teil der Energie enthalten. Sie haben die große Schwankung der Strömungsgeschwindigkeit und sind niederfrequent. Integrale Skalen sind stark anisotrop und werden anhand der normalisierten Zweipunkt-Strömungsgeschwindigkeitskorrelationen definiert. Die maximale Länge dieser Skalen wird durch die charakteristische Länge der Vorrichtung begrenzt. Beispielsweise ist die größte integrale Längenskala des Rohrdurchflusses gleich dem Rohrdurchmesser. Bei atmosphärischen Turbulenzen kann diese Länge bis zu mehreren hundert Kilometern betragen: Die integrale Längenskala kann definiert werden als

${\ displaystyle L = \ left ({\ frac {1} {\ langle u'u '\ rangle}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} \ langle u'u' (r) \ rangle \,DR}$

Dabei ist r der Abstand zwischen zwei Messorten und u 'die Geschwindigkeitsschwankung in derselben Richtung. ^[11]

Kolmogorov Längenskalen

Kleinste Skalen im Spektrum, die den Bereich der viskosen Unterschicht bilden. In diesem Bereich sind der Energieeintrag aus nichtlinearen Wechselwirkungen und der Energieverbrauch aus der viskosen Dissipation genau ausgeglichen. Die kleinen Skalen haben eine hohe Frequenz, wodurch die Turbulenzen lokal isotrop und homogen sind.

Taylor Mikroskalen

Die Zwischenskalen zwischen der größten und der kleinsten Skala, die den Trägheitsunterbereich bilden. Taylor-Mikroskalen sind keine dissipativen Skalen, sondern geben die Energie ohne Dissipation vom größten zum kleinsten weiter. Einige Literaturstellen betrachten Taylor-Mikroskalen nicht als charakteristische Längenskala und betrachten die Energiekaskade nur als die größten und kleinsten Skalen. während letztere sowohl den Trägheitsunterbereich als auch die viskose Unterschicht aufnehmen. Trotzdem werden Taylor-Mikroskalen häufig verwendet, um den Begriff "Turbulenz" bequemer zu beschreiben, da diese Taylor-Mikroskalen eine dominierende Rolle bei der Energie- und Impulsübertragung im Wellenzahlraum spielen.

Obwohl es möglich ist, bestimmte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen für die Flüssigkeitsbewegung zu finden, sind alle diese Lösungen für endliche Störungen bei großen Reynolds-Zahlen instabil. Die empfindliche Abhängigkeit von den Anfangs- und Randbedingungen macht den Flüssigkeitsfluss sowohl zeitlich als auch räumlich unregelmäßig, so dass eine statistische Beschreibung erforderlich ist. Der russische Mathematiker Andrey Kolmogorov schlug die erste statistische Turbulenztheorie vor, die auf dem oben erwähnten Begriff der Energiekaskade (eine ursprünglich von Richardson eingeführte Idee ) und dem Konzept der Selbstähnlichkeit basiert . Infolgedessen wurden die Kolmogorov-Mikroskalen nach ihm benannt. Es ist nun bekannt, dass die Selbstähnlichkeit gebrochen ist, so dass die statistische Beschreibung derzeit geändert wird. ^[12]

Eine vollständige Beschreibung der Turbulenzen ist eines der ungelösten Probleme in der Physik . Nach einer apokryphen Geschichte wurde Werner Heisenberg gefragt, was er Gott bei dieser Gelegenheit fragen würde . Seine Antwort war: "Wenn ich Gott begegne, werde ich ihm zwei Fragen stellen: Warum Relativitätstheorie ? Und warum Turbulenzen? Ich glaube wirklich, dass er eine Antwort auf die erste haben wird." ^[13] Ein ähnlicher Witz wurde Horace Lamb in einer Rede vor der British Association for the Advancement of Science zugeschrieben : "Ich bin jetzt ein alter Mann, und wenn ich sterbe und in den Himmel komme, gibt es zwei Dinge, auf die ich hoffe Erleuchtung. Eine ist die Quantenelektrodynamik und die andere ist die turbulente Bewegung von Flüssigkeiten. Und in Bezug auf die erstere bin ich ziemlich optimistisch. " ^{[14] [15]}

Der Beginn von Turbulenzen kann bis zu einem gewissen Grad durch die Reynolds-Zahl vorhergesagt werden , bei der es sich um das Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften innerhalb eines Fluids handelt, das aufgrund unterschiedlicher Fluidgeschwindigkeiten einer relativen inneren Bewegung ausgesetzt ist, was als Grenze bezeichnet wird Schicht im Fall einer Begrenzungsfläche wie dem Inneren eines Rohres. Ein ähnlicher Effekt wird durch das Einbringen eines Stroms von Flüssigkeit mit höherer Geschwindigkeit erzeugt, wie beispielsweise die heißen Gase aus einer Flamme in Luft. Diese Relativbewegung erzeugt Flüssigkeitsreibung, was ein Faktor bei der Entwicklung einer turbulenten Strömung ist. Diesem Effekt entgegenzuwirken ist die Viskosität der Flüssigkeit, die mit zunehmendem Wert zunehmend Turbulenzen hemmt, da mehr kinetische Energie von einer viskoseren Flüssigkeit absorbiert wird. Die Reynolds-Zahl quantifiziert die relative Bedeutung dieser beiden Arten von Kräften für gegebene Strömungsbedingungen und gibt Aufschluss darüber, wann in einer bestimmten Situation eine turbulente Strömung auftreten wird. ^[16]

Diese Fähigkeit, den Beginn turbulenter Strömungen vorherzusagen, ist ein wichtiges Konstruktionswerkzeug für Geräte wie Rohrleitungssysteme oder Flugzeugflügel. Die Reynolds-Zahl wird jedoch auch zur Skalierung fluiddynamischer Probleme verwendet und zur Bestimmung der dynamischen Ähnlichkeit zwischen zwei verschiedenen Fällen von Flüssigkeitsstrom, z. B. zwischen einem Modellflugzeug und seiner Vollversion. Eine solche Skalierung ist nicht immer linear und die Anwendung von Reynolds-Zahlen auf beide Situationen ermöglicht die Entwicklung von Skalierungsfaktoren. Eine Strömungs Situation , in der die kinetische Energie deutlich aufgrund der Wirkung von Fluidmolekular absorbiert Viskosität führt zu einer Laminar - Flow - Regime. Hierfür dient die dimensionslose Größe der Reynolds-Zahl ( Re ) als Richtwert.

In Bezug auf laminare und turbulente Strömungsregime:

• Die laminare Strömung tritt bei niedrigen Reynolds-Zahlen auf, bei denen die viskosen Kräfte dominieren, und ist durch eine gleichmäßige, konstante Flüssigkeitsbewegung gekennzeichnet.
• Die turbulente Strömung tritt bei hohen Reynolds-Zahlen auf und wird von Trägheitskräften dominiert, die dazu neigen, chaotische Wirbel , Wirbel und andere Strömungsinstabilitäten zu erzeugen .

Die Reynoldszahl ist definiert als ^[17]

${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho vL} {\ mu}} \ ,,}$

wo:

• ρ ist die Dichte der Flüssigkeit ( SI-Einheiten : kg / m ³ )
• v ist eine charakteristische Geschwindigkeit des Fluids in Bezug auf das Objekt (m / s)
• L ist eine charakteristische lineare Abmessung (m)
• μ ist die dynamische Viskosität der Flüssigkeit (Pa · s oder N · s / m ² oder kg / (m · s)).

Während es keinen Satz gibt, der die nicht-dimensionale Reynolds-Zahl direkt mit Turbulenzen in Beziehung setzt, sind Strömungen bei Reynolds-Zahlen größer als 5000 typischerweise (aber nicht notwendigerweise) turbulent, während Strömungen bei niedrigen Reynolds-Zahlen gewöhnlich laminar bleiben. In der Poiseuille-Strömung können Turbulenzen beispielsweise erst aufrechterhalten werden, wenn die Reynolds-Zahl größer als ein kritischer Wert von etwa 2040 ist; ^[18] Darüber hinaus ist die Turbulenz im Allgemeinen mit laminarer Strömung durchsetzt, bis eine größere Reynolds-Zahl von etwa 4000 erreicht ist.

Der Übergang tritt auf, wenn die Größe des Objekts allmählich erhöht wird oder die Viskosität des Fluids verringert wird oder wenn die Dichte des Fluids erhöht wird.

Wenn die Strömung turbulent ist, zeigen Partikel eine zusätzliche Querbewegung, die die Energie- und Impulsaustauschrate zwischen ihnen erhöht und somit den Wärmeübergang und den Reibungskoeffizienten erhöht .

Nehmen wir für eine zweidimensionale turbulente Strömung an, dass man einen bestimmten Punkt in der Flüssigkeit lokalisieren und die tatsächliche Strömungsgeschwindigkeit v = ( v _x , v _y ) jedes Partikels messen konnte, das zu einem bestimmten Zeitpunkt durch diesen Punkt ging. Dann würde man feststellen, dass die tatsächliche Strömungsgeschwindigkeit um einen Mittelwert schwankt:

${\ displaystyle v_ {x} = \ underbrace {{\ overline {v}} _ {x}} _ {\ text {mean}} + \ underbrace {v '_ {x}} _ {\ text {fluktuation} } \ quad {\ text {und}} \ quad v_ {y} = {\ overline {v}} _ {y} + v '_ {y} \,;}$

und ähnlich für Temperatur ( T = T + T ' ) und Druck ( P = P + P' ), wobei die vorbereiteten Größen Schwankungen bezeichnen, die dem Mittelwert überlagert sind. Diese Zerlegung einer Strömungsvariablen in einen Mittelwert und eine turbulente Fluktuation wurde ursprünglich 1895 von Osborne Reynolds vorgeschlagen und gilt als Beginn der systematischen mathematischen Analyse der turbulenten Strömung als Teilfeld der Fluiddynamik. Während die Mittelwerte als vorhersagbare Variablen genommen werden, die durch Dynamikgesetze bestimmt werden, werden die turbulenten Schwankungen als stochastische Variablen angesehen.

Der Wärmefluss und die Impulsübertragung (dargestellt durch die Scherspannung τ ) in der Richtung senkrecht zur Strömung für eine gegebene Zeit sind

${\ displaystyle {\ begin {align} q & = \ underbrace {v '_ {y} \ rho c_ {P} T'} _ {\ text {experimenteller Wert}} = - k _ {\ text {turb}} {\ frac {\ partielle {\ overline {T}}} {\ partielle y}} \, \\\ tau & = \ underbrace {- \ rho {\ overline {v '_ {y} v' _ {x}} }} _ {\ text {experimenteller Wert}} = \ mu _ {\ text {turb}} {\ frac {\ partielle {\ overline {v}} _ {x}} {\ partielle y}} \ ,; \ Ende {ausgerichtet}}}$

wobei c _P die Wärmekapazität bei konstantem Druck ist, ρ die Dichte des Fluids ist, μ _turb der Koeffizient der turbulenten Viskosität ist und k _turb die turbulente Wärmeleitfähigkeit ist . ^[3]

Richardsons Vorstellung von Turbulenzen war, dass eine turbulente Strömung aus "Wirbeln" unterschiedlicher Größe besteht. Die Größen definieren eine charakteristische Längenskala für die Wirbel, die auch durch von der Längenskala abhängige Strömungsgeschwindigkeitsskalen und Zeitskalen (Umsatzzeit) gekennzeichnet sind. Die großen Wirbel sind instabil und brechen schließlich aus kleineren Wirbeln auf, und die kinetische Energie des anfänglichen großen Wirbels wird in die kleineren Wirbel aufgeteilt, die daraus entstanden sind. Diese kleineren Wirbel durchlaufen denselben Prozess, wodurch noch kleinere Wirbel entstehen, die die Energie ihres Vorgängerwirbels erben, und so weiter. Auf diese Weise wird die Energie von den großen Skalen der Bewegung auf kleinere Skalen übertragen, bis eine ausreichend kleine Längenskala erreicht ist, so dass die Viskosität des Fluids die kinetische Energie effektiv in innere Energie umwandeln kann.

In seiner ursprünglichen Theorie von 1941 postulierte Kolmogorov , dass für sehr hohe Reynolds-Zahlen die kleinräumigen turbulenten Bewegungen statistisch isotrop sind (dh es konnte keine bevorzugte räumliche Richtung festgestellt werden). Im Allgemeinen sind die großen Skalen einer Strömung nicht isotrop, da sie durch die besonderen geometrischen Merkmale der Grenzen bestimmt werden (die Größe, die die großen Skalen charakterisiert, wird als L bezeichnet ). Kolmogorovs Idee war, dass in der Energiekaskade von Richardson diese geometrischen und gerichteten Informationen verloren gehen, während die Skala reduziert wird, so dass die Statistik der kleinen Skalen einen universellen Charakter hat: Sie sind für alle turbulenten Strömungen gleich, wenn die Reynolds-Zahl ausreichend ist hoch.

So führte Kolmogorov eine zweite Hypothese ein: Für sehr hohe Reynolds-Zahlen wird die Statistik kleiner Maßstäbe universell und eindeutig durch die kinematische Viskosität ν und die Geschwindigkeit der Energiedissipation ε bestimmt . Mit nur diesen beiden Parametern ist die eindeutige Länge, die durch Dimensionsanalyse gebildet werden kann

${\ displaystyle \ eta = \ left ({\ frac {\ nu ^ {3}} {\ varepsilon}} \ right) ^ {1/4} \ ,.}$

Dies ist heute als Kolmogorov-Längenskala bekannt (siehe Kolmogorov-Mikroskalen ).

Eine turbulente Strömung ist durch eine Skalenhierarchie gekennzeichnet, durch die die Energiekaskade stattfindet. Die Dissipation der kinetischen Energie erfolgt in Maßstäben in der Größenordnung der Kolmogorov-Länge η , während der Energieeintrag in die Kaskade aus dem Zerfall der großen Maßstäbe der Ordnung L stammt . Diese beiden Skalen an den Extremen der Kaskade können sich bei hohen Reynolds-Zahlen um mehrere Größenordnungen unterscheiden. Dazwischen gibt es eine Reihe von Skalen (jede mit ihrer eigenen charakteristischen Länge r ), die sich auf Kosten der Energie der großen gebildet haben. Diese Skalen sind im Vergleich zur Kolmogorov-Länge sehr groß, aber immer noch sehr klein im Vergleich zur großen Skala der Strömung (dh η ≪ r ≪ L ). Da Wirbel in diesem Bereich viel größer sind als die dissipativen Wirbel, die auf Kolmogorov-Skalen existieren, wird kinetische Energie in diesem Bereich im Wesentlichen nicht dissipiert und lediglich auf kleinere Skalen übertragen, bis viskose Effekte wichtig werden, wenn sich die Ordnung der Kolmogorov-Skala nähert . Innerhalb dieses Bereichs sind Trägheitseffekte immer noch viel größer als viskose Effekte, und es kann angenommen werden, dass die Viskosität in ihrer internen Dynamik keine Rolle spielt (aus diesem Grund wird dieser Bereich als "Trägheitsbereich" bezeichnet).

Eine dritte Hypothese von Kolmogorov war daher, dass bei einer sehr hohen Reynolds-Zahl die Statistiken von Skalen im Bereich η ≪ r ≪ L universell und eindeutig durch die Skala r und die Geschwindigkeit der Energiedissipation ε bestimmt werden .

Die Art und Weise, wie die kinetische Energie über die Vielzahl der Skalen verteilt wird, ist eine grundlegende Charakterisierung einer turbulenten Strömung. Für homogene Turbulenzen (dh statistisch invariant unter Verschiebungen des Referenzrahmens) wird dies üblicherweise mittels der Energiespektrumfunktion E ( k ) durchgeführt , wobei k der Modul des Wellenvektors ist, der einigen Harmonischen in einer Fourier-Darstellung der Strömung entspricht Geschwindigkeitsfeld u ( x ) :

${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {x}) = \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ hat {\ mathbf {u}}} (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k \ cdot x}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {k} \ ,,}$

wobei û ( k ) die Fourier-Transformation des Strömungsgeschwindigkeitsfeldes ist. Somit repräsentiert E ( k ) d k den Beitrag aller Fourier-Moden mit k <| zur kinetischen Energie k | < k + d k und daher

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left \ langle u_ {i} u_ {i} \ right \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} E (k) \, \ mathrm { d} k \ ,,}$

wo 1/.2⟨ U _i u _i ⟩ ist die mittlere turbulente kinetische Energie der Strömung. Die der Längenskala r entsprechende Wellenzahl k ist k = 2π/.r. Daher ist nach der Dimensionsanalyse die einzig mögliche Form für die Energiespektrumfunktion gemäß der dritten Kolmogorov-Hypothese

${\ displaystyle E (k) = K_ {0} \ varepsilon ^ {\ frac {2} {3}} k ^ {- {\ frac {5} {3}}} \ ,,}$

wo ${\ displaystyle K_ {0} \ ca. 1,44}$wäre eine universelle Konstante. Dies ist eines der bekanntesten Ergebnisse der Kolmogorov-Theorie von 1941, und es haben sich beträchtliche experimentelle Beweise angesammelt, die dies unterstützen. ^[19]

Aus dem Trägheitsbereich kann man die folgende Formel ^{[20] finden} :

${\ displaystyle E (k) = K_ {0} \ varepsilon ^ {\ frac {2} {3}} k ^ {- {\ frac {5} {3}}} \ exp \ left [- {\ frac { 3K_ {0}} {2}} \ left ({\ frac {\ nu ^ {3} k ^ {4}} {\ varepsilon}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} \ right] \ ,,}$

Trotz dieses Erfolgs wird die Kolmogorov-Theorie derzeit überarbeitet. Diese Theorie geht implizit davon aus, dass die Turbulenzen auf verschiedenen Skalen statistisch selbstähnlich sind. Dies bedeutet im Wesentlichen, dass die Statistiken im Trägheitsbereich skalierungsinvariant sind. Eine übliche Methode zur Untersuchung turbulenter Strömungsgeschwindigkeitsfelder ist die Verwendung von Strömungsgeschwindigkeitsinkrementen:

${\ displaystyle \ delta \ mathbf {u} (r) = \ mathbf {u} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}) - \ mathbf {u} (\ mathbf {x}) \,;}$

das heißt, die Differenz der Strömungsgeschwindigkeit zwischen Punkten, die durch einen Vektor r getrennt sind (da die Turbulenz als isotrop angenommen wird, hängt das Strömungsgeschwindigkeitsinkrement nur vom Modul von r ab ). Inkremente der Strömungsgeschwindigkeit sind nützlich, weil sie die Auswirkungen von Skalen in der Größenordnung der Trennung r bei der Berechnung von Statistiken hervorheben . Die statistische Skaleninvarianz impliziert, dass die Skalierung von Strömungsgeschwindigkeitsinkrementen mit einem eindeutigen Skalierungsexponenten β erfolgen sollte , so dass, wenn r mit einem Faktor λ skaliert wird ,

${\ displaystyle \ delta \ mathbf {u} (\ lambda r)}$

sollte die gleiche statistische Verteilung haben wie

${\ displaystyle \ lambda ^ {\ beta} \ delta \ mathbf {u} (r) \ ,,}$

mit β unabhängig von der Skala r . Aus dieser Tatsache und anderen Ergebnissen der Kolmogorov-1941-Theorie folgt, dass die statistischen Momente der Strömungsgeschwindigkeitsinkremente (bekannt als Strukturfunktionen in Turbulenzen) wie folgt skalieren sollten

${\ displaystyle {\ Big \ langle} {\ big (} \ delta \ mathbf {u} (r) {\ big)} ^ {n} {\ Big \ rangle} = C_ {n} (\ varepsilon r) ^ {\ frac {n} {3}} \ ,,}$

wobei die Klammern den statistischen Durchschnitt bezeichnen und C _n universelle Konstanten sind.

Es gibt erhebliche Hinweise darauf, dass turbulente Strömungen von diesem Verhalten abweichen. Die Skalierungsexponenten weichen von der abn/.3Wert, der von der Theorie vorhergesagt wird und zu einer nichtlinearen Funktion in der Größenordnung n der Strukturfunktion wird. Die Universalität der Konstanten wurde ebenfalls in Frage gestellt. Bei niedrigen Bestellungen die Diskrepanz mit dem Kolmogorovn/.3Der Wert ist sehr klein, was den Erfolg der Kolmogorov-Theorie in Bezug auf statistische Momente niedriger Ordnung erklärt. Insbesondere kann gezeigt werden, dass, wenn das Energiespektrum einem Potenzgesetz folgt

${\ displaystyle E (k) \ propto k ^ {- p} \ ,,}$

mit 1 < p <3 hat die Strukturfunktion zweiter Ordnung auch ein Potenzgesetz mit der Form

${\ displaystyle {\ Big \ langle} {\ big (} \ delta \ mathbf {u} (r) {\ big)} ^ {2} {\ Big \ rangle} \ propto r ^ {p-1} \, ,}$

Da die für die Strukturfunktion zweiter Ordnung erhaltenen experimentellen Werte nur geringfügig von der abweichen 2/.3Wert von Kolmogorov Theorie vorhergesagt, ist der Wert für p sehr nahe 5/.3(Unterschiede betragen ca. 2% ^[21] ). So ist der "Kolmogorov - 5/.3Spektrum "wird im Allgemeinen in Turbulenzen beobachtet. Für Strukturfunktionen hoher Ordnung ist jedoch der Unterschied zur Kolmogorov-Skalierung signifikant, und die Aufschlüsselung der statistischen Selbstähnlichkeit ist klar. Dieses Verhalten und der Mangel an Universalität der C _n -Konstanten, mit dem Phänomen verbunden sind intermittency in Turbulenzen. Dies ist ein wichtiger Bereich der Forschung auf diesem Gebiet, und ein wichtiges Ziel der modernen Theorie der Turbulenz ist zu verstehen , was in dem Trägheitsbereich wirklich universell ist.

• Zentrum für Turbulenzforschung , wissenschaftliche Arbeiten und Bücher über Turbulenzen
• Zentrum für Turbulenzforschung , Stanford University
• Wissenschaftlicher amerikanischer Artikel
• Luftturbulenzprognose
• internationale CFD-Datenbank iCFDdatabase
• Turbulente Strömung in einem Rohr auf YouTube
• Fluid Mechanics-Website mit Filmen, Fragen und Antworten usw.
• Öffentliche Datenbank von Johns Hopkins mit direkten numerischen Simulationsdaten
• Öffentliche TurBase-Datenbank mit experimentellen Daten aus europäischen Hochleistungsinfrastrukturen in Turbulenzen (EuHIT)